Граница (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Граница.

Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност.[1] Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, деривативи и интеграли.

Формулата за лимит на функция обикновено се записва по следния начин:

,

и се чете: границата на f на x, когато x се доближава до c, е равна на L. Фактът, че функцията f се доближава до лимита L, когато x се доближава до c, понякога се записва със стрелка, например:

Граница на функция[редактиране | редактиране на кода]

Винаги, когато точка x е в δ от c, f(x) е в ε единици от L. За всяко x > S, f(x) е в ε на L.
Винаги, когато точка x е в δ от c, f(x) е в ε единици от L.
За всяко x > S, f(x) е в ε на L.

Нека да е реална функция, а реално число. Интуитивно, записът

означава, че може да бъде много близо до като доближим достатъчно близо до . В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „когато границата на от , когато клони към е “.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „да се доближи до “ да означава, че лежи в интервала , което може да се запише и със знака за абсолютна стойност – [2]. Тогава изказът „когато клони към “ индикира, че се отнасяме към стойностите на , чието разстояние от е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на при или , може да се изрази с . Първото неравенство означава, че разстоянието между и е по-голямо от и, че , а следващото неравенство показва, че е на разстояние от .

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако . Функцията не е необходимо да бъде дефинирана при .

Например, ако

то тогава не е дефинирана (виж делене на нула), но когато се доближава до 1, се доближава до 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 ⇒ недефинирана ⇐ 2.001 2.010 2.100
Функцията sinx/x

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

за води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на , близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

.

Функцията tg x

Лява и дясна граница на функция[редактиране | редактиране на кода]

В много случаи независимата променлива х клони към х0 чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това, дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

за лява граница и

за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията при , клонящо към , са съответно .

Неистинска граница на функция[редактиране | редактиране на кода]

Казва се, че функцията има неистинска граница или , ако за всяко произволно голямо число съществува такова число , че за всички , за които , е изпълнено неравенството , съответно f(x) < -C. Означава се:

, .

Поведение на функциите в безкрайността[редактиране | редактиране на кода]

Поведението на дадена функция за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

и съответно

ако за произволно отнапред дадено съществува такова достатъчно голямо , че за всички или съответно за всички .

Граница на числова редица[редактиране | редактиране на кода]

Граница на дадена числова редица е число точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |anl| < ε за всички n > N(ε).

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число е граница на числовата редица , ако всяка околност ("всяка околност" е интервалът за произволно ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието "Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой", понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано - Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици[редактиране | редактиране на кода]

  • Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

за bn ≠ 0 и ≠ 0.

за c = const.

при с1 = const, c2 = const.

при b > 0, a > 0, b ≠ 1.
при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици[редактиране | редактиране на кода]

  • Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
  • Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
  • Ако за всички членове на сходящата редица (аn) при са изпълнени неравенствата то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата:
  • Ако са три сходящи редици, такива че и , то .

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Limit (mathematics)“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.