Интеграл

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Disambig.svg Тази статия е за математическия функционал. За космическия апарат вижте ИНТЕГРАЛ.
Графика на интеграла на реалната функция  – площта от до .

Интегралът е един от основните оператори в съвременния математически анализ. Съществуват два основни вида интеграли, поради което понятието интеграл се разглежда по двата начина:

  1. Определен интеграл: Интеграл на функцията с дефиниционна област интервала и множество от стойности (реалните числа) е площта на функцията между и , абсцисната ос, като площта под интегрируемата координатна ос приемаме за отрицателна и изваждаме. Чрез определен интеграл се дефинира площта под функцията между и .
  2. Неопределен интеграл: Примитивната на функцията , отбелязвана често с . С неопределен интеграл се намира функция, чиято производна е интегрираната функция () в дефиниционния интервал.

В математическия анализ съществуват мнжество техники за дефиниране на интеграл, чрез които става възможно съществуването на различни класове интегруеми функции. Такива техники включват интеграли на реални, компексни и хиперкомпрексни функции; на функции с повече от една променлива; праволинеен, криволинеен, интеграл по затворени контур, площ или обем; специални инеграли като Риманов интеграл и неговото абстрактно обобщение – Лебегов интеграл и интегрални преобразувания.

История[редактиране | редактиране на кода]

Опити за интегриране са били правени още в древността, но в края на XVII век Нютон и Лайбниц създават основните правила на интегрирането. През XIX век Коши, Вайерщрас и др. допринасят за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Същност[редактиране | редактиране на кода]

Нека е произволен интервал и е зададена функция. Тъй като е диференцируема и слеводателно непрекъсната в , примитивната на функцията, , следва също да е непрекъсната в .

Ако функцията е непрекъсната в интервала и равенството е изпълнено навсякъде в с изключение на краен брой стойности на x, където евентуално не е диференцируема, то се нарича обобщена примитивна на в . От съображения за пълнота се приема, че ако има примитивна , то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с .

Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности на аргумента . Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска стойностите , за които равенството е нарушено, да са точки на прекъсване на . За приложенията, обаче, са важни само непрекъснатите примитивни.

Не всяка функция има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу, ако функцията приема всички стойности между числата и . Следователно функцията няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1ви род. Функцията може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2ри род. Възможно е функцията да няма примитивна (и съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на в някой подинтервал , който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата има съответна примитивна в . Ако и са две примитивни на , то те могат да се различават само с адитивна константа (). Така, ако е примитивна на , всяка друга примитивна на се определя от , където C е константа.

Неопределен интеграл[редактиране | редактиране на кода]

Множеството на всички примитивни на дадена функция се нарича неопределен интеграл на дадената функция, , и се бележи с . Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл. Действително, ако има примитивна , то се състои от всички функции, които се отличават от с адитивна константа и следователно множеството има същия брой елементи като реалните числа (). Ако няма примитивна, то множеството е празно, което се записва като .

За примитивната на функцията е прието означението

. Тук се нарича подинтегрална функция, се нарича подинтегрален израз, а е символът за интеграл.

Намирането на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране и се извършва чрез таблични интеграли. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции, т.е.:

Тъй като интегрирането е линеен оператор и функциите имат примитивни и , са константи, то:

Определен интеграл[редактиране | редактиране на кода]

Определен интеграл в интервала [a,b]

Нека е примитивна на в и е фиксирана точка от интервала . Тогава функцията определена от , е също примитивна на в , която удовлетворява условието . За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

Не съществуват определени интеграли за всяка функция. Това е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция и на даден подинтервал можем да съпоставим величината:

Тази величина се нариче определен интеграл на функцията в интервала , ако са изпълнени:

  1. Линейност: Ако и са числа, то
    където функцията е определена от .
  2. Адитивност: Ако , то
    В частност, ако е разбивка на интервала , то
  3. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция , то

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]