Преобразувание на Фурие

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Преобразуванието на Фурие има няколко значения. В началото се дефинира за абсолютно интегруеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразувание на Фурие[редактиране | редактиране на кода]

Нека е функция с период , която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала . С означаваме банаховото пространство от функции , за които е изпълнено

Преобразуванието на Фурие се дефинира чрез интеграла . Комплексното число се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на .

Преобразувание на Фурие за n-мерно пространство[редактиране | редактиране на кода]

Нека е функция от банаховото пространство , което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху . Преобразуванието на Фурие се дефинира чрез интеграла .

Ако разглеждаме функциите от хилбертовото пространство , т.е. всички фунцкии, за които , можем да дефинираме преобразуванието на Фурие като линеен оператор , за който е изпълнено следното

  • ,
  • .

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразувание на Фурие, дефинирано в .

Преобразувание на Фурие за обобщени функции[редактиране | редактиране на кода]

Нека , а е обобщена функция. Тогава преобразуванието на Фурие се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството .

Свойства на коефициентите на Фурие[редактиране | редактиране на кода]

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

  • за ;
  • за ;
  • за ;
  • Ако означим , то (транслация се преобразува в модулация);
  • Ако означим , то (модулация се преобразува в транслация);
  • (конволюция се преобразува в произведение);
  • Оценка на коефициентите:

Непрекъснатост[редактиране | редактиране на кода]

Ако и , то клони равномерно към за всяко n.

Сходимост[редактиране | редактиране на кода]

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция е изпълнено .