Ред (математика)

Безкраен ред или по-просто ред в математическия анализ се нарича всеки формален израз от вида

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

Общ член се нарича $a_{n}$. Според типа на общия член редовете се делят на числови и функционални. Стойностите на общия член могат да бъдат реални или комплексни числа.

Частична сума на ред се нарича сумата от първите $n$ члена на редицата:

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}.$

Един безкраен ред се нарича сходящ или разходящ, когато редицата от частичните му суми е съответно сходяща или разходяща, тоест когато тя съответно има или няма (крайна) граница. Когато редът е сходящ, границата $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}$ се нарича сума на реда, което се обозначава така:

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

Когато границата съществува, но е безкрайна, редът се смята за разходящ. Понякога обаче е удобно такъв ред да се причисли към сходящите редове. В такива случаи (когато границата е безкрайна) редът понякога се нарича сходящ в несобствен смисъл (същият термин се употребява и за безкрайни редици).

Един безкраен ред се нарича абсолютно сходящ, когато е сходящ редът от модулите на неговите събираеми. Всеки абсолютно сходящ ред е сходящ. Ред, който е сходящ, но не е абсолютно сходящ, се нарича условно сходящ.

Сходящите функционални редове са равномерно сходящи или неравномерно сходящи според типа сходимост на функционалната редица от частичните им суми.

Необходимо условие за сходимост

Ако един безкраен ред е сходящ, то общият му член клони към нула.
Обратното не е вярно.

Критерии за сходимост

Следните критерии важат за безкрайни редове с положителни членове (за критерия на Коши е достатъчно общият член да е неотрицателен).

Критерий на Даламбер:
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е сходящ.
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е разходящ.

Критерий на Коши:
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е сходящ.
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е разходящ.

Критерий на Раабе—Дюамел:
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)>1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е сходящ.
— Ако $\lim _{n\rightarrow \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1$, то редът $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ е разходящ.

Тези три критерия важат и когато границата е безкрайна. Те не дават отговор, когато тя не съществува или е равна на единица. Когато границата в критерия на Даламбер е равна на единица, обикновено се прибягва до критерия на Раабе—Дюамел. Когато границата в критерия на Даламбер съществува и е различна от единица, той се предпочита заради простотата си пред критерия на Раабе—Дюамел.

Критерият на Коши дава отговор винаги, когато критерият на Даламбер дава отговор, но не и обратното. Обаче критерият на Даламбер води до по-прости сметки от критерия на Коши.

Тези критерии се използват и при проверки за абсолютна сходимост.

Признак на Лайбниц

Един безкраен ред се нарича алтернативен или знакопроменлив, ако стойностите на членовете му са реални числа, които сменят знаците си, тоест всеки два последователни члена са с различни знаци (допуска се някои или всички членове да са нули).

Признак на Лайбниц: Ако редицата от модулите на членовете на безкраен знакопроменлив ред клони към нула и е намаляваща (може и нестрого), то редът е сходящ.

Обратното не е вярно.

Признакът на Лайбниц може да се използва за доказване на условна сходимост в съчетание с някой от признаците на Даламбер, Коши и Раабе—Дюамел.