Релация

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Релацията представлява препокриващо съпоставяне между елементи от две или повече множества. Всяко подмножество на декартовото произведение на множествата A1, A2,..., An (R ⊆ A1xA2x...xAn) се нарича n-местна релация. Казваме, че наредената n-орка (a1, a2,..., an) принадлежи на релацията R ((a1, a2,..., an) ∈ R), когато е зададено правило за образуване на връзка между елементите a1 ∈ A1,...,an ∈ An.


Бинарна релация[редактиране | edit source]

Една релация се нарича бинарна (още двуместна или двучленна), когато представлява съпоставянето между елементите на две множества. Има два начина за записване на една бинарна релация, от които по-често се използва вторият:

  • (a, b) ∈ R
  • aRb

Записът aRb ⇔ P(a, b) се чете: a е в релация R с b, когато съществува връзка P(a, b) между елементите a и b.

Примери: R ⊆ AxB

  • aRb ⇔ a и b имат еднакъв цвят
  • aRb ⇔ a и b имат общи познати

Релация над декартов квадрат[редактиране | edit source]

Релация над декартовия квадрат на дадено множество А, представлява бинарната релация R ⊆ AxA.

Видове[редактиране | edit source]

  • рефлексивна - ако ∀a∈A (a, а)∈R
  • антирефлексивна - ако ∀a∈A (a, а) ∉ R
  • симетрична - ако ∀a,b∈A, a и b са различни (a, b)∈R ⇒ (b, а)∈R
  • антисиметрична - ако ∀a,b∈A, a и b са различни (a, b)∈R ⇒ (b, а)∉R
  • силно антисиметрична - ако за ∀a,b∈A е изпълнено точно едно от двете: (a, b)∈R или (b, а)∈R
  • транзитивна - ако ∀a,b,c∈A ((a, b)∈R, (b, c)∈R ⇒ (a, c)∈R)

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a < b (антирефлексивна, силно антисиметрична, транзитивна)
  • aRb ⇔ a е кратно на b (рефлексивна, антисиметрична, транзитивна)

Релация на еквивалентност[редактиране | edit source]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е релация на еквивалентност, ако тя е рефлексивна, симетрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a = b

Частична наредба[редактиране | edit source]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е частична наредба, ако тя е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a ≤ b

Пълна наредба[редактиране | edit source]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е пълна наредба, ако тя е рефлексивна, силно антисиметрична и транзитивна.