Релация

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Jump to navigation Jump to search

Релацията представлява препокриващо съпоставяне между елементи от две или повече множества. Всяко подмножество на декартовото произведение на множествата A1, A2,..., An (R ⊆ A1xA2x...xAn) се нарича n-местна релация. Казваме, че наредената n-орка (a1, a2,..., an) принадлежи на релацията R ((a1, a2,..., an) ∈ R), когато е зададено правило за образуване на връзка между елементите a1 ∈ A1,...,an ∈ An.


Бинарна релация[редактиране | редактиране на кода]

Една релация се нарича бинарна (още двуместна или двучленна), когато представлява съпоставянето между елементите на две множества. Има два начина за записване на една бинарна релация, от които по-често се използва вторият:

  • (a, b) ∈ R
  • aRb

Записът aRb ⇔ P(a, b) се чете: a е в релация R с b, когато съществува връзка P(a, b) между елементите a и b.

Примери: R ⊆ AxB

  • aRb ⇔ a и b имат еднакъв цвят
  • aRb ⇔ a и b имат общи познати

Релация над декартов квадрат[редактиране | редактиране на кода]

Релация над декартовия квадрат на дадено множество А, представлява бинарната релация R ⊆ AxA.

Видове[редактиране | редактиране на кода]

  • рефлексивна - ако ∀a∈A (a, а)∈R
  • антирефлексивна - ако ∀a∈A (a, а) ∉ R
  • симетрична - ако ∀a,b∈A, a и b са различни (a, b)∈R ⇒ (b, а)∈R
  • антисиметрична - ако ∀a,b∈A, a и b са различни (a, b)∈R ∧ (b, а)∈R ⇒ a=b
  • силно антисиметрична - ако за ∀a,b∈A е изпълнено точно едно от двете: (a, b)∈R или (b, а)∈R
  • транзитивна - ако ∀a,b,c∈A ((a, b)∈R, (b, c)∈R ⇒ (a, c)∈R)

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a < b (антирефлексивна, силно антисиметрична, транзитивна)
  • aRb ⇔ a е кратно на b (рефлексивна, антисиметрична, транзитивна)

Релация на еквивалентност[редактиране | редактиране на кода]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е релация на еквивалентност, ако тя е рефлексивна, симетрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a = b

Частична наредба[редактиране | редактиране на кода]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е частична наредба, ако тя е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

  • aRb ⇔ a ≤ b

Пълна наредба[редактиране | редактиране на кода]

Казваме, че една релация над декартов квадрат е пълна наредба, ако тя е рефлексивна, силно антисиметрична и транзитивна.