Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 12:02, 23 юли 2007

Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Всяка безкрайна и ограничена редица $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ притежава сходяща подредица.

Доказателство: Нека $r:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ и $\forall n\in \mathbb {N} \;\;a\leq r_{n}\leq b$ Ако $r$ има точка на сгъстяване $l$ , то очевидно $l\in \left[a;b\right]$ .

Да допуснем, че $r$ няма точка на сгъстяване. Тогава $\forall x\in \left[a;b\right]\exists$ околност $U_{x}$ на $x$ , такава че $U_{x}$ съдържа само краен брой членове на $r$ .

Тогава обединението $\Omega =\cup U_{x}$ е покритие на интервала $\left[a;b\right]$ . От теоремата на Хайне-Борел следва, че $\Omega$ има крайно подпокритие $\Omega ^{\prime }$ състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на $r$ . Но $r$ има безброй много членове в интервала $\left[a;b\right]$ , или получаваме противоречие и следователно $r$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази статия все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
 {{Обработка|'''ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.'''}}
 '''Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици):''' Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
+'''Доказателство:''' Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\;
+a \le r_n \le b </math>
+Ако <math>r</math> има точка на сгъстяване <math>l</math>, то очевидно <math>l\in\left[ a;b \right]</math>.
+Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>.
+Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, или получаваме противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
 {{мъниче}}