Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Добавено е доказателство |
Редакция без резюме |
||
Ред 8: | Ред 8: | ||
Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. |
Да допуснем, че <math>r</math> няма точка на сгъстяване. Тогава <math>\forall x \in \left[ a;b \right] \exists </math> околност <math>U_x</math> на <math>x</math>, такава че <math>U_x</math> съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. |
||
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, |
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана. |
||
{{мъниче}} |
{{мъниче}} |
Версия от 12:03, 23 юли 2007
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство: Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне-Борел следва, че има крайно подпокритие състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безброй много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази статия все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.