Теорема на Вивиани

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Vivani.svg

Нека P e вътрешна точка от равнината на един триъгълник. С d_a,d_b,d_c да означим разстоянията от P до страните a,b,c на триъгълника. Тогава ако с h_a,h_b,h_c сме означили височините към a,b,c, то е изпълнено:

\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}=1

Доказателство: Очевидно S_\triangle=S_a+S_b+S_c където с S_k, k=a,b,c сме положили лицето на триъгълника с върхове краищата на страната k и точка P. В такъв случай следва твърдението на теоремата:

\frac{S_a}{S_\triangle}+\frac{S_b}{S_\triangle}+\frac{S_c}{S_\triangle}=\frac{a.d_a}{a.h_a}+\frac{b.d_b}{b.h_b}+\frac{c.d_c}{c.h_c}=1

Следствие: Нека с r сме означили радиуса на вписаната окръжност. В такъв случай ако P беше центърът на тази окръжност, то от теоремата на Вивиани следва:

\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_a}=\frac{1}{r}

Вижте също[редактиране | edit source]