Теореми за граници на функции

Ако функциите $f(x)$ и $g(x)$ имат граница при $x\to a$, то

Теорема 1

$\lim _{x\to a}=\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)$

Теорема 2

$\lim _{x\to a}\left[f(x)\ .g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\ .\lim _{x\to a}g(x)$

Теорема 3

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}$ където $g(x)\neq 0$.

Следствие 1

  $\lim _{x\to a}\left[k\ .f(x)\right]=k\ .\lim _{x\to a}f(x)$, където $k$ е константа.

Следствие 2

$\lim _{x\to a}{\left[f(x)\right]}^{n}={\left[\lim _{x\to a}f(x)\right]}^{n}$, където $n$ е цяло положително число.

Неопределености

Видове неопределености – Ако някое аритметично действие няма стойност, то резултатът наричаме неопределеност.

При граници на функции имаме няколко вида неопределеност:

Неопределеност от вида $\ {\frac {0}{0}}\$: Тя се получава от Теорема 3, ако $\lim _{x\to a}f(x)=0$ и $\lim _{x\to a}g(x)=0$.

Неопределеност от вида $\ {\frac {\infty }{\infty }}\$: Тя се получава от Теорема 3, ако $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ и $\lim _{x\to a}g(x)=\infty$.

Неопределеност от вида $\ \infty -\infty \$: Тя се получава от Теорема 1, ако $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty$ и $\lim _{x\to a}g(x)=+\infty$, то: $\lim _{x\to a}\left[f(x)+g(x)\right]=+\infty$, но $\lim _{x\to a}\left[f(x)-g(x)\right]$ може както да съществува, така и да не съществува.

Неопределеност от вида $0\ .\infty$: Тя се получава от Теорема 2, ако $\lim _{x\to a}f(x)=0$ и $\lim _{x\to a}g(x)=\infty$