Хармоничен осцилатор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Схема на просто хармонично движение

Oсцилаторът създава (генерира) трептения, чрез въздействие по определен начин, върху тяло с една или повече степени на свобода в определена среда. В резултат на това движението, което се повтаря през равни интервали от време и тялото се връща в изходната си позиция, се нарича периодично. Математическият модел на такива осцилации се описва чрез тригонометричните функции синус и косинус. В математиката тези функции се наричат "хармонични" - затова и движението на такива тела предизвикано от осцилатора, се нарича хармонично.

"Хармоничен осцилатор" в класическата механика се нарича всяка система, която при отместване от нейното равновесно положение изпитва сила, възвръщаща я към равновесното положение.

Нашият свят е пълен с примери на хармонично движение:

- трептенията на струните на музикалните инструменти, движението на махалото, движението на въздушните молекули при преминаване на звукова вълна.
- електронните музикални инструменти чрез електрически генератори на трептения синтезират звук - например при адитивния синтез се сумират множество синусоидални трептения, за да се получи крайният звук, а при субтрактивния (най-евтин и най-често използван при аналоговите синтове), осцилаторите генерират правоъгълен, триъгълен или трионообразен електрически сигнал (тъй като са богати на хармоници), като се пускат през филтри, които изрязват част от хармониците и така се оформя специфичен тембър. Друга информация за осцилаторите - има и така наречените Low Frequency Oscilators (LFO), които генерират честоти под 10 Hz и са нечуваеми за човешкото ухо - те служат за контролиране на параметрите на звука, получен например при субтрактивния синтез - може да контролират амплитудата на сигнала по синусоидален закон, при който да се получи тремоло ефект или честотата, след което ще се получи вибрато или пък честотата на срез на филтрите, когато се получава така наречения "sweep" ефект.

Видове осцилации[редактиране | edit source]

Осцилациите биват незатихващи и затихващи. Периодичното движение се създавa от сили, които преместват телата в някаква посока и възвратно в изходна позиция. Тъй като този процес не се провежда в идеална среда, а винаги има някакво съприкосновение с други частици (триене), вследствие на което се отдава енергия, повечето от хармоничните движения са затихващи. Ако се вкарва допълнителна енергия чрез външна сила или някакъв източник на енергия, може да се компенсира загубата на енергия от триенето или съпротивлението (в електрическите системи) и да се постигнат незатихващи периодични осцилации.

Математическо описание на движението[редактиране | edit source]

тяло закачено за пружина
махало
въртящо се махало
звукова вълна
морска вълна
предаване на хармонично движение по въже


Уравнение за затихващо трептене[редактиране | edit source]

Разглеждаме тяло с маса m окачено на пружина с еластичност к. Тялото се намира в среда със съпротивление пропорционално на скоростта на движение с коефициент b. Движението се извършва само по координатната ос Х.

Формула за пружината:

\mathbf{ Fe= -k.x,   Fe} еластична сила на отблъскване на пружината

Формула за съпротивлението на средата:

Fc= - b.{dx \over dt},  Fc - сила на съпротивление на средата

Закон на Нютон:

F = m.a = m. {d^2x \over dt^2}, където
 F - сила, приложена върху тяло с маса м и ускорение а.

Уравнението за движението на тяло, окаченото на пружина е:

 \mathbf{F = Fe + Fc}
    m. {d^2x \over dt^2} = -k.x - b.{dx \over dt}
    m. {d^2x \over dt^2}+ b.{dx \over dt}+ k.x =0

Това е диференциално уравнение от втори ред, описващо движението на хармоничен затихващ осцилатор. Разделяме на m:

   {d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}+ {k \over m}.x =0

За да го решим преобразуваме:    {d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}= -  {k \over m}.x


Ползваме помощна функция: e^{{b \over m}.t}

Вижте също[редактиране | edit source]