Алгоритъм за получаване на n-мерна матрица на ротация

Алгоритъмът за получаване на n-мерна матрица на ротация (NRMG алгоритъм) дава възможност за създаване на матрица за ротация на зададен n-мерен вектор X по посоката на зададен n-мерен вектор Y, т.е. за създаване на матрица M, която удовлетворява уравнението

$Y_{x}=MX$

където $Y_{x}$ има същата норма като вектора $X$ и същата посока като $Y$, т.е. $\|Y_{x}\|=\|X\|$ ($\cos Y_{x}$,$Y=1$).

NRMG алгоритъмът включва следната последователност от операции:

• Получаване на матрица на ротация $M_{x}$, която извършва ротация на зададения вектор X по посока на координатната ос x₁.
• Получаване на матрица на ротация $M_{y}$, която извършва ротация на зададения вектор Y по посока на координатната ос x₁.
• Получаване на матрица на ротация $M$, която извършва ротация на зададения вектор X по посока на зададения вектор Y както следва:

$M=M_{y}^{-1}M_{x}=M_{y}^{T}M_{x}$

Както се вижда в даденото по-горе описание, базовата операция на NRMG алгоритъма е ротацията на n-мерен вектор по посока на една от координатните оси (напр. по посока на оста $x_{1}$).

В е даден примерен код на Matlab за получаване на n-мерна матрица на ротация по зададени n-мерни вектори X и Y с използване на NRMG алгоритъма.

Ротация на n-мерен вектор по посока на оста $x_{1}$

Ротация на зададен n-мерен вектор по посока на една от координатните оси (напр. по посока на оста $x_{1}$) може да се извърши посредством n − 1 последователни ротации (x_n−k, x_n−k+1), k = 1,...,n − 1 чрез умножение с матрици на Гивънс $G(n-k,n-k+1,\theta _{n-k})$, в които коефициентите S = sin(θ_n−k) и C = cos(θ_n−k) се изчисляват както следва:

${\begin{cases}\sin(\theta _{n-k})=-{\frac {x_{n-k+1}}{\sqrt {x_{n-k}^{2}+x_{n-k+1}^{2}}}},\cos(\theta _{n-k})={\frac {x_{n-k}}{\sqrt {x_{n-k}^{2}+x_{n-k+1}^{2}}}},\quad if\quad x_{n-k}^{2}+x_{n-k+1}^{2}>0\\\sin(\theta _{n-k})=0,\cos(\theta _{n-k})=1,\quad if\quad x_{n-k}^{2}+x_{n-k+1}^{2}=0\end{cases}}$

След всяка ротация в текущата координатна равнина (x_n−k, x_n−k+1) се получава вектор, който е ортогонален на координатната ос x_n−k+1. Така последователните ротации в координатните равнини (x_n−k, x_n−k+1), k = 1,...,n − 1 дават вектор, който е ортогонален на всички координатни оси с изключение на x₁. Матрицата на ротация $M_{x}$ се получава като произведение на матриците на Гивънс $G(n-k,n-k+1,\theta _{n-k}),\ k=1,\ldots ,n-1,$ както следва:

$M_{x}=\prod _{k=1}^{n-1}G(n-k,n-k+1,\theta _{n-k})$

Дължината r_X = $\parallel X\parallel$ на зададения вектор X и ъглите на ротации θ₁, ..., θ_n-1 от горната формула са всъщност координатите на вектора X, представен в хиперсферична координатна система като X_S = [r_X, -θ₁, ..., -θ_n-1]^T. Ъглите на ротации са включени с отрицателен знак, защото при ротация на зададен вектор по посока на координатна ос x₁ ротациите в координатните равнини се извършват от вектора към координатните оси, докато при представянето на вектора в хиперсферична координатна система ъглите се отчитат в обратна посока – от осите към вектора.

Източници

• Zhelezov O. I. N-dimensional Rotation Matrix Generation Algorithm, American Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 7 No. 2, 2017, pp. 51 – 57. doi: 10.5923/j.ajcam.20170702.04.
• H.G. Golub, J.M. Ortega, 1993, Scientific Computing and Introduction with Parallel Computing, Academic Press, Inc., San Diego
• G. A. Korn, T.M. Korn, 1961, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st ed.), New York: McGraw-Hill. pp. 55 – 79.
• H. Friedberg, A. Insel, L. Spence, 1997, Linear Algebra (3rd ed), Prentice Hall.
• M. Cosnard, Y. Robert. Complexity of parallel QR factorization. J. ACM 33, 4 (August 1986), 712 – 723. DOI=10.1145/6490.214102, 1986
• A. H. Sameh, D. J. Kuck. On Stable Parallel Linear System Solvers. J. ACM 25, 1 (януари 1978), 81 – 91., 1978
• N. J. Higham, 1996, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, Philadelfia
• G. W.Steward, 1976, The economical storage of plane rotations, Numer. Math, 25, 2 1976, 137 – 139
• N. K. Bose, 1985, Multidimensional Systems Theory: Progress, Directions, and Open Problems. D.Reidel Publishing Co., Dordrecht, The Netherland
• A. S. Householder, 1958, „Unitary triangularization of a nonsimetric matrix“, J. ACM 5, 339 – 342, 1958
• E. Anderson, 2000, „Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem“ LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, 4 декември 2000. page 2