Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
м по-дълбока кат.+математика-мъниче |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
⚫ | |||
{{Обработка|'''ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.'''}} |
|||
⚫ | |||
===Доказателство=== |
|||
Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\; |
|||
a \le r_n \le b </math> |
a \le r_n \le b </math> |
||
Ако <math>r</math> има точка на сгъстяване <math>l</math>, то очевидно <math>l\in\left[ a;b \right]</math>. |
Ако <math>r</math> има точка на сгъстяване <math>l</math>, то очевидно <math>l\in\left[ a;b \right]</math>. |
||
Ред 10: | Ред 10: | ||
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана. |
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне-Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math> състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безброй много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана. |
||
{{мъниче}} |
{{математика-мъниче}} |
||
[[Категория: |
[[Категория:Теореми]] |
||
[[ca:Teorema de Weierstrass]] |
[[ca:Teorema de Weierstrass]] |
Версия от 10:03, 23 октомври 2007
Теоремата на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне-Борел следва, че има крайно подпокритие състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безброй много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.