Хилбертово пространство: Разлика между версии
Ред 9: | Ред 9: | ||
== Дефиниция и примери == |
== Дефиниция и примери == |
||
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно скаларното произведение <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> |
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно модула на скаларното произведение <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> и където |
||
<math> \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> . |
<math> \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> . |
Версия от 21:04, 19 август 2008
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двудименсионна равнина и тридименсионно пространство към многомерните пространства. Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение в което разтоянията и ъглите могат да бъдат измерени и което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
Дефиниция и примери
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно модула на скаларното произведение и където
.
Събиране
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и модул
.
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
от картезиански произведения от Hi, такива че
.
Модул се нарича
.
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.
Външни препратки
- []
Източници
Вижте също
- [[]]