Хилбертово пространство: Разлика между версии
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{Обработка|форматиране}} |
{{Обработка|форматиране}} |
||
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и |
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства. |
||
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на [[Коши]] съществува граница в пространството. |
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на [[Коши]] съществува граница в пространството. |
||
Версия от 20:48, 31 октомври 2008
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
Математическото разбиране за Хилбертово пространство обобщава понятията от Евклидово пространство. То разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства. Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно произведение,в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и,което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ. Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
Дефиниция и примери
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение посредством формулата:
.
Събиране
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение
.
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
от картезиански произведения от Hi, такива че
.
Скаларно произведение се нарича
.
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.
Външни препратки
- []
Източници
Вижте също
- Обозначения[1]