Формула на Ойлер: Разлика между версии
м без интервал; козметични промени |
м излишен празен ред |
||
Ред 13: | Ред 13: | ||
== Извод == |
== Извод == |
||
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.<ref>{{cite web |
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.<ref>{{cite web |
||
| url = http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html |
| url = http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html |
||
Ред 42: | Ред 41: | ||
=== Тъждество на Ойлер === |
=== Тъждество на Ойлер === |
||
В частния случай, когато |
В частния случай, когато |
||
Версия от 22:12, 15 януари 2020
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число :
- където: е — основа на натуралния логаритъм,
- i — имагинерна единица,
- и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).
Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.[1]: Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид
- .
След диференциране и преобразуване, получаваме
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
и оттук
- .
Тъждество на Ойлер
В частния случай, когато
получаваме
Доколкото
и
следва
а оттук
Източници
- ↑ Eric W. Weisstein. Euler Formula // MathWorld. Посетен на 12 декември 2010.