Формула на Ойлер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графика, показваща взаимовръзката между, , и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число :

където: е — основа на натуралния логаритъм,
i — имагинерна единица,
и са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .

Извод[редактиране | редактиране на кода]

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.[1]: Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид

.

След диференциране и преобразуване, получаваме

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

и оттук

.

Тъждество на Ойлер[редактиране | редактиране на кода]

В частния случай, когато

получаваме

Доколкото

и

следва

а оттук и

което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме


друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.


Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Eric W. Weisstein. Euler Formula. // MathWorld. Посетен на 12 декември 2010.