Формула на Ойлер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графика, показваща взаимовръзката между \sin \varphi, \cos \varphi и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число \varphi:

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!
където: е — основа на натуралния логаритъм,
i — имагинерна единица,
\sin и \cos са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл \varphi.

Извод[редактиране | edit source]

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.[1]: Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид

z \equiv  \cos \varphi + i\sin \varphi \!.

След диференциране и преобразуване, получаваме

d z = d (\cos \varphi + i\sin \varphi \!)
d z = (-\sin \varphi + i\cos \varphi \!) d\varphi
d z = i(i\sin \varphi + \cos \varphi \!) d\varphi
d z = i(\cos \varphi + i\sin \varphi \!) d\varphi
d z = izd\varphi
 \frac{ d z }{z} =  id\varphi
 \int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi
 \ln z = i\varphi +C
 z = Ae^{i\varphi}

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

 z(0) = A = \cos(0) + i\sin(0) = 1

и оттук

 e^{i\varphi} =  \cos \varphi + i\sin \varphi \!.

Тъждество на Ойлер[редактиране | edit source]

В частния случай, когато

\varphi = \pi \!

получаваме

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Доколкото

\cos \pi = -1  \, \!

и

\sin \pi = 0,\,\!

следва

e^{i \pi} = -1,\,\!

а оттук и

e^{i \pi} +1 = 0,\,\!

което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на  \frac{\pi}{2}, получаваме


e^\frac{i \pi}{2} = i, \!

друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.


Източници[редактиране | edit source]

  1. Eric W. Weisstein. Euler Formula. // MathWorld. Посетен на 12 декември 2010.