Формула на Ойлер

Графика, показваща взаимовръзката между $\sin \varphi$, $\cos \varphi$ и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число $\varphi$:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$ ,

където важи:

е — основа на натуралния логаритъм,

i — имагинерна единица,

$\sin$ и $\cos$ са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, тя описва ротация на единичен вектор на ъгъл $\varphi$.

Извод

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини като сред най-елегантните е чрез комплексен интеграл:

Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.

$z\equiv \cos \varphi +i\sin \varphi \!$.

След диференциране и преобразуване, получаваме:

$dz=d(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)$

$dz=(-\sin \varphi +i\cos \varphi \!)d\varphi$

$dz=i(i\sin \varphi +\cos \varphi \!)d\varphi$

$dz=i(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)d\varphi$

$dz=izd\varphi$

${\frac {dz}{z}}=id\varphi$

$\int {\frac {dz}{z}}=\int id\varphi$

$\ln z=i\varphi +C$

$z=Ae^{i\varphi }$

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

$z(0)=A=\cos(0)+i\sin(0)=1$

и оттук

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$.

Тъждество на Ойлер

В частния случай, когато $\varphi =\pi \!$ получаваме:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Ако $\cos \pi =-1\,\!$ и $\sin \pi =0\,\!$, следва, че:

$e^{i\pi }=-1\,\!$

а оттук следва, че:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$