Експоненциална функция

Експоненциàлната функция или експонéнта в математиката на променливата $\,x\,$ е показателна функция с основа на степента Ойлеровото или Неперово число $\,e=2,7182818284{...}\,$ :

f(x)=e^{x}=\exp(x).

Записът $\,\exp(x)\,$ се използва особено когато е неудобно изписването на зависимата променлива като степенен показател. Експоненциалната функция има уникалното свойство да е равна на собствената си производна и интеграл (с точност до константа). Затова широко се употребява в математиката, физиката и химията.

Графиката на експоненциалната функция е растяща и стойността ѝ се увеличава по-бързо с нарастването на аргумента. Функцията е положителна за всички стойности на $\,x$ , но може да приема стойности произволно близки до нулата (при отрицателни стойности на $\,x$ ), което значи, че абсцисата е хоризонтална асимптота на експоненциалната функция.

Обратната функция на експоненциалната функция е натуралният логаритъм $\ln(x)$ . Във връзка с това на някои западни езици експоненциалната функция се нарича натурална експоненциална функция в смисъл натурална показателна функция, за разлика от показателните функции с други основи, наричани експоненциални заради думата „експонента“, в превод „показател“.

Дефиниция

Експоненциалната функция може да бъде дефинирана по няколко еквивалентни начина. Често използвана дефиниция е следната граница на числова редица:

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.

Чрез непрекъснатост на логаритъма, това може да се докаже чрез вземане на логаритми и доказване на равенството

x=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right),

например с теоремата на Тейлър.

Еквивалентна дефиниция е следият степенен ред на Тейлър:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .

Тази дефиниция важи както за реални така и за комплексни числа.

Свойства

Реципрочност

Функционалното уравнение предполага ⁠ $e^{x}e^{-x}=1$ ⁠. Следователно $e^{x}\neq 0$ за всяко $x$ ⁠ и ${\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.$

Свойства при степенуване

Изхождайки от горните определения, може да се докаже, че за експоненциалната функция важат степенните равенства

e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y},\quad

или

\quad \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)

;

аналогично,

e^{x-y}={\frac {e^{x}}{e^{y}}},\quad

или

\quad \exp(x-y)={\frac {\exp(x)}{\exp(y)}}

за всички $x$ и $y$ .

Може да се докаже, че функция, която удовлетворява тeзи функционални уравнения, има вида $x$ ↦ $\exp(cx)$ ⁠, ако е непрекъсната или монотонна. Следователно тя е диференцируема и е равна на експоненциалната функция, ако нейната производна в 0 е 1.

Идентичност при диференциране и интегриране

Производната на експоненциалната функция е равна на самата функция:

(e^{x})'={de^{x} \over dx}=e^{x}

.

Това е доказано графично на фигурата вдясно. Допирателните към графиката на експоненциалната функция във всяка точка и перпендикулярите от тази точка формират равни отсечки от абсцисната ос с дължина 1.

По-специално, експонентата е единственото решение на диференциалното уравнение $y'=y$ с начални данни $y(0)=1$ . Освен това, общите решения на хомогенно диференциално уравнение се изразяват чрез експоненциалната функция.

Интегралът на експоненциалната функция е равен на самата функция (плюс константа):

\int e^{x}dx=e^{x}+C

.

Положителност

$e^{x}>0$ ⁠ за всяко реално число $x$ ⁠. Това е резултат от теоремата за междинните стойности, тъй като $e^{0}=1$ ⁠ и ако има $e^{x}<0$ ⁠ за някое $x$ ⁠, ще има $y$ ⁠ такова, че $e^{y}=0$ ⁠ между $0$ ⁠ и ⁠ $x$ ⁠. Тъй като експоненциалната функция е равна на своята производна, това означава, че експоненциалната функция е монотонно нарастваща.

Обратна функция

Обратна функция на експоненциалната е натуралният логаритъм. Ако $e^{x}=y,\quad$ $x=\ln y$ . Замествайки $x$ от второто равенство в първото, се получава $y=e^{\ln y}=\exp(\ln y)$ .

Връзка между експоненциална и показателна функция

Нека $b$ е положително реално число. Експоненциалната функция и натуралният логаритъм са обратни една на друга и $b=\exp(\ln b)$ . При повдигане на степен цяло число $n$ се получава

b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n.\ln b)

.

Тъй като най-десният израз е дефиниран ако $n$ е произволно реално число, това позволява да се дефинира $b^{x}$ ⁠ за всяко положително реално число $b$ и всяко реално число $x$

b^{x}=\exp(x\ln b)

.

Формулата изразява показателната функция $b^{x}$ с произволна положителна реална основа $b$ чрез експоненциална функция на аргумента $x$ и натуралния логаритъм от основата.

В частност, ако $b$ е Неперовото число $e=\exp(1)$ , имаме $\ln e=1$ (обратна функция) и следователно $e^{x}=\exp(x)$ . Това показва еквивалентността на двете означения за експоненциалната функция.

Тези свойства на експоненциалната функция ѝ дават широко приложение в природните науки.

Обобщения

По-общо и особено в приложен контекст, понятието „експоненциална функция“ може да се използва и за функции от вида $f(x)=ae^{kx+b}$ ⁠. Тези най-общи експоненциални функции са диференцируеми функции, които удовлетворяват следните еквивалентни характеристики:

⁠ $f(x)=ae^{kx+b}$ ⁠ за всяко ⁠ $x$ ⁠ и някои константи $a$ ⁠ и $k$ ⁠.
Стойността на $f'(x)/f(x)$ е независима от $x$ .
За всяко $d$ стойността на $f(x+d)/f(x)$ е независима от $x;$ т.е.,

{\frac {f(x+d)}{f(x)}}={\frac {f(y+d)}{f(y)}}

за всяко

x,y

.^[1]

Основата на експоненциалната функция в първата характеристика е $e^{kx+b}$ ⁠, във втората е ${\textstyle \exp {\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ и в третата е ${\textstyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}}$ . ^[2]

В теорията на сложните функции се разглежда по-общ случай, при който аргументът и показателят могат да бъдат всяко комплексно число. Това разкрива връзки между умножението на комплексни числа, завъртанията в комплексната равнина и тригонометрията. Формулата на Ойлер ⁠ $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ ⁠ изразява и обобщава тези връзки.

Експоненциалната функция може да бъде още по-обобщена, за да приема други видове аргументи, като например матрици и вектори от Римановата геометрия и алгебрите на Ли за получаване съответно на Риманови и Лиеви експоненциални изображения.

Вижте също

Източници и бележки

↑ G. Harnett, Calculus 1, 1998, Функции, продължение: „Общите експоненциални функции имат свойството, че съотношението на два изхода зависи само от разликата на входовете. Съотношението на изходите за единична промяна на входа е основата.“
↑ G. Harnett, Calculus 1, 1998; Functions continued / Exponentials & logarithms: „Съотношението на изходите за единична промяна на входа е „основата“ на обща експоненциална функция.“

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Exponential function в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.

[1] G. Harnett, Calculus 1, 1998, Функции, продължение: „Общите експоненциални функции имат свойството, че съотношението на два изхода зависи само от разликата на входовете. Съотношението на изходите за единична промяна на входа е основата.“

[2] G. Harnett, Calculus 1, 1998; Functions continued / Exponentials & logarithms: „Съотношението на изходите за единична промяна на входа е „основата“ на обща експоненциална функция.“

[1]

[2]