Неперово число

Неперово число се нарича ирационалното число $e$ = 2,718281828459045...

То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото $e$ е основата на естествените (натуралните) логаритми.

История

Числото $e$ се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на $x$ е равен на

$10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)\,\!$

Числото $e$ негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото $e$ не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число $e$ е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

$\lim _{n\,\to \,\infty }\,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата $e$ първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото $e$ понякога се нарича „число на Ойлер“. Смята се, че буквата "е" е избрана в чест на Ойлер (Euler). Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Дефиниция

Числото $e$ може да бъде дефинирано по два равносилни начина:

• като граница на числова редица: $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$;

• като сума на безкраен числов ред: $e=\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\;{\frac {1}{k!}}}$.

Свойства

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и $\pi$ се вижда от формулата на Ойлер:

$e^{\,i\pi }=-1$

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция $f(x)=e^{x}$, която съвпада със своята производна:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Още една връзка между числата $e$ и $\pi$ се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

$\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$.

• За всяко комплексно число $z$ са изпълнени следните равенства:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}:$.

Числото $e$ се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

$e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]\,,$

т.е.

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Приложения

Сложна лихва

Якоб Бернули открил числото $e$ през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.

Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.

Други представяния на числото e

$e=\lim _{n\,\to \,\infty }\;{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$

$e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots$

$e=\lim _{n\,\to \,\infty }\;\left({\rm {}}{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right)$

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ]$

Доказателство за ирационалността на числото e

Да допуснем противното: че $\!e$ е рационално. Тогава $\!e=p/q$, където $\!p$ е цяло, а $\!q$ е естествено число. Понеже $\!e$ не е цяло число, то $\!q>1$.

Следователно

$\!p=eq$

Умножаваме по $\!(q-1)!$ и получаваме

$p(q-1)!\,=\,eq!\,=\,q!\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\;{1 \over n!}}\,=\,\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,\sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}+\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}$

Прехвърляме $\sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}$ от другата страна:

$\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,p(q-1)!-\sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}$

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

$\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}$ също е цяло (положително) число, затова

$\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\geq 1$.

Обаче$\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{q! \over (q+m)!}}\,=\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{1 \over (q+1)...(q+m)}}\,<$

$<\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{1 \over (q+1)^{m}}}\,=\,{1 \over q}\,<\,1$, тоест

$\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}<1$, което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e

$e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995$

$\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274$

$\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260$

$\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots$.

Вижте също

Естествен логаритъм

Експоненциална функция

Леонард Ойлер

Външни препратки

Доказателство за транцендентността на числото $e$ (planetmath.org, англ.)