Неперово число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Неперово число се нарича ирационалното число e = 2,7 18 28 18 28 45 90 45 ...

То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото e е основата на естествените (натуралните) логаритми.

 Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Сложна лихва[редактиране | редактиране на кода]

Якоб Бернули открил числото e през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.[1]

Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100% : 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100% : 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,7 18 28 18 28 45 90 45 ...... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер — изобретателя на логаритмите.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Числото e може да бъде дефинирано по два равносилни начина:

  • като граница на числова редица: e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n;
  • като сума на безкраен числов ред: e = \sum_{k\,=\,0}^{\infty}{\;\frac{1}{k!}}  .

Други представяния на числото e[редактиране | редактиране на кода]

e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots
e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермите установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и \pi се вижда от формулата на Ойлер:

e^{\,i\pi} = -1

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция f(x)=e^x, която съвпада със своята производна:

\frac{d}{dx}e^x=e^x

Още една връзка между числата e и \pi се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}.
  • За всяко комплексно число z са изпълнени следните равенства:
 e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n:.

Числото e се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,,

т. е.

e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}

Доказателство за ирационалността на числото e[редактиране | редактиране на кода]

Да допуснем противното: че \!e е рационално. Тогава \!e=p/q, където \!p е цяло, а \!q е естествено число. Понеже \!e не е цяло число, то \!q>1.

Следователно

\!p=eq

Умножаваме по \!(q-1)! и получаваме

p(q-1)! \,=\, eq! \,=\, q!\sum_{n\,=\,0}^\infty{\;{1\over n!}}\, = \,\sum_{n\,=\,0}^\infty{\;{q!\over n!}}\, = \,\sum_{n\,=\,0}^q{\;{q!\over n!}}+\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}}

Прехвърляме \sum_{n\,=\,0}^q{\;{q!\over n!}} от другата страна:

\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}} \,=\, p(q-1)! - \sum_{n\,=\,0}^q{\;{q!\over n!}}

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}} също е цяло (положително) число, затова
\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}} \ge 1.

Обаче\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}} \,=\, \sum_{m\,=\,1}^\infty{\;{q!\over (q+m)!}} \,=\, \sum_{m\,=\,1}^\infty{\;{1\over (q+1)...(q+m)}} \,<

<\, \sum_{m\,=\,1}^\infty{\;{1\over (q+1)^m}} \,=\, {1\over q} \,< \,1, тоест

\sum_{n\,=\,q+1}^\infty{\;{q!\over n!}} < 1, което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e[редактиране | редактиране на кода]

e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995
\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274
\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260
\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots.

История[редактиране | редактиране на кода]

Числото e се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер — автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на x е равен на

10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!

Числото e негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото e не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число e е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

\lim_{n\,\to\,\infty} \,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата e първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото e понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Естествен логаритъм

Експоненциална функция

Леонард Ойлер

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Доказателство за транцендентността на числото e (planetmath.org, англ.)

  1. The number e. // MacTutor History of Mathematics.