Неперово число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Неперово число или Ойлерово число е ирационалното число e = 2,718281828459...

Неперовото число заедно с числото пи е една от най-важните константи в математиката. То не е "измислено" от човека, а е вградено във вселената, като неин "параметър" (как се получава виж по-долу). Използва се за описването на неща които се увеличават или намаляват по две, по две, по две... с времето, като например радиоактивния разпад на атомите, промяната в температурата - колкото по-топло е нещо толкова по-бързо губи топлина и пр. Числото стои в основата на естествения (натурален) логаритъм, представляващ логаритъм с основа, не 10 като при десетичния, ами с основа e.

 Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Сложна лихва[редактиране | редактиране на кода]

Якоб Бернули открива константата e през 1685 при изучаване на въпроса със сложната лихва.[1]

Ако имаме 1 лев инвестиран в банка и сложен на лихва 100%. Ако изчислим лихвата веднъж - края на годината от тази лихва ще имате 2 лева. Но банките не чакат да мине година за да изплатят допълнителния долар, а изчисляват периодично лихвата. Какви резултати ще получим, ако изчисляваме лихвата на повече интервали?

Ако се изчислява веднъж на 6 месеца от годината (1/2-ра от годината) в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако се изчислява веднъж всеки месец от годината (1/12-та от годината) в годината ще получим 2,61 лв. Ако лихвата се изчислява всеки ден от годината (1/365-та от годината) в края ще получим 2,7145... лв. Ако лихвата се изчислява всяка секунда от годината (1/365х24х60) в края ще получим 2,7182.... лв. Както се вижда в началото увеличението беше много рязко от 25 на 61 стотинки, а сега вече е по-малко от стотинка. Бернули забелязва, че това увеличаване достига лимит. И този лимит може да се намери, като лихвата се изчисли към безкрайно много части от годината (1/∞), но тъй като безкрайността не е число, а идея и не може да се преброи или сметне за подобно изчисление за част от годината се взима достатъчно голямо число (милион, милиард, трилион...), за което се казва, че "клони към безкрайност". При изчисление на периоди от годината равни на такова число клонящо към безкрайност, като сума в края на годината ще получим получим именно 2,718 281 828 459...... лв или сума равна на ойлеровото число.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Може да бъде представено по два начина:

  • e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n   като граница на числова редица,
  • e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}    като сума на безкраен ред.

Други представяния на e[редактиране | редактиране на кода]

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots
e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Неперовото число е ирационално (доказано от Ойлер, 1737) и трансцендентно (доказано от Ермит, 1879).

Връзката между неперовото число и пи се вижда от формулата на Ойлер:

e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1.

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция f(x)=e^x, за която е в сила

\frac{d}{dx}e^x=e^x.

Още една формула, свързваща числата е и π – т. нар. „интеграл на Поасон“ или „интеграл на Гаус“:

\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
  • За всяко комплексно число z са изпълнени следните равенства:
 e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n:.

Числото e се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,,

т. е.

e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}

Доказателство за ирационалността на е[редактиране | редактиране на кода]

Нека предположим, че \!e е рационално. Тогава \!e=p/q, където \!p е цяло, а \!q – естествено число, по-голямо от 1, доколкото \!e не е цяло число.

Следователно

\!p=eq

Умножавайки двете части на уравнениепо по \!(q-1)!, получаваме

p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}

Прехвърляме \sum_{n=0}^q{q!\over n!} в лявата част:

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}

Всички събираеми в дясната част са цели, следователно:

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} е цяло число;
\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1

Но от друга страна

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} < 1

Така стигаме до противоречие.

Първите 200 цифри на e[редактиране | редактиране на кода]

e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995
\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274
\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260
\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots.

История[редактиране | редактиране на кода]

Числото е се нарича Неперово в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614). Това не е съвсем коректно, тъй като в него логаритъмът на числото х е равен на

10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!

За първи път константата негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а константата не е определена. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред.Самата константа е изведена за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли следната граница:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Първото известно използване на тази константа, означена с b, се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (ок. 1691 г.). Буквата е първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика или Наука за движението, изложена аналитично“. Поради това е понякога е наричано „число на Ойлер“. Не е известно точно защо е избрана тази буква за означаване на константата. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата exponential (показателен).

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Естествен логаритъм Експоненциална функция Леонард Ойлер

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Доказателство на транцендентността на e (planetmath.org, англ.)

  1. The number e. // MacTutor History of Mathematics.