Неперово число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Неперово число се нарича ирационалното число = 2,7 18 28 18 28 45 90 45 ...

То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото е основата на естествените (натуралните) логаритми.

 Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Сложна лихва[редактиране | редактиране на кода]

Якоб Бернули открил числото през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.[1]

Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100% : 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100% : 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,7 18 28 18 28 45 90 45 ...... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер — изобретателя на логаритмите.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Числото може да бъде дефинирано по два равносилни начина:

  • като граница на числова редица: ;
  • като сума на безкраен числов ред:  .

Други представяния на числото e[редактиране | редактиране на кода]

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермите установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и се вижда от формулата на Ойлер:

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция , която съвпада със своята производна:

Още една връзка между числата и се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

.
  • За всяко комплексно число са изпълнени следните равенства:
.

Числото се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

т. е.

Доказателство за ирационалността на числото e[редактиране | редактиране на кода]

Да допуснем противното: че е рационално. Тогава , където е цяло, а  е естествено число. Понеже не е цяло число, то .

Следователно

Умножаваме по и получаваме

Прехвърляме от другата страна:

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

също е цяло (положително) число, затова
.

Обаче

, тоест

, което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e[редактиране | редактиране на кода]

.

История[редактиране | редактиране на кода]

Числото се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер — автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на е равен на

Числото негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

.

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Естествен логаритъм

Експоненциална функция

Леонард Ойлер

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Доказателство за транцендентността на числото (planetmath.org, англ.)

  1. The number e. // MacTutor History of Mathematics.