Формула на Моавър

В математиката Формулата на Моавър се отнася за всяко комплексно число (следователно и за всички реални числа) $x$ и степенен показател $n$ и гласи, че:

${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

където i е имагинерната единица, за която i²= −1. Формулата е кръстена на френския математик Абрахам дьо Моавър. Изразът cos x + i sin x може да се изписва и като cis(x).

Формулата свързва комплексните числа с тригонометричните функции. Чрез разкриване на лявата страна на равенството и след сравняване на реалните и имагинерните части при предположението, че $x$ е реално, могат да бъдат изразени cos(nx) и sin(nx) чрез cos x и sin x.

Доказателство

Формулата на Моавър може да бъде доказана чрез формулата на Ойлер

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

макар и хронологически да е измислена по-рано, както и чрез свойството на степените

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}$.

Тогава, по формулата на Ойлер:

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

Следователно ${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)$.

Коренуване на комплексни числа

Формулата на Моавър може да бъде използвана за намирането на корен $n$-ти от някакво комплексно число.

Ако z е комплексно число, то тогава то може да бъде записано във вида

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),$

Тогава корен $n$-ти от $z$ се изчислява като

${\sqrt[{n}]{z}}=r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)$,

където $k$ е число между 0 и n − 1.

Тази формула понякога също е наричана формула на Моавър.

Пример

За $x={\frac {\pi }{6}}$ и $n=2$ според формулата на Моавър

$\left[\cos {\bigg (}{\frac {\pi }{6}}{\bigg )}+i\sin {\bigg (}{\frac {\pi }{6}}{\bigg )}\right]^{2}=\cos {\bigg (}2\cdot {\frac {\pi }{6}}{\bigg )}+i\sin {\bigg (}2\cdot {\frac {\pi }{6}}{\bigg )},$

или изразено чрез числените стойности

$\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Валидността на това равенство е лесно да се провери като се повдигне на квадрат сумата в лявата страна.

Вижте също

• Формула на Ойлер

Източници

• Учебник по математика за 12 клас за профилирана подготовка, издателство „Просвета“.