Натурален логаритъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Натуралният логаритъм (на латински: logarithmus naturalis) или естествен логаритъм е логаритъм с основа математическата константа . Числото „“ е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)n при n, клонящо към безкрайност:

Графика на натуралния логаритъм
.

Натуралният логаритъм от е степента, на която трябва да се повдигне, за да бъде равно на . Ако , тогава . Естественият логаритъм от е равен на 1, тъй като 1 = , а eстественият логаритъм от 1 е 0, тъй като 0 = 1.

Натуралният логаритъм от обикновено се записва като ln x или loge x. По-рядко може да бъде записан и без означаване на основата, само като log x. [1][2] Понякога се добавят скоби за яснота: ln(x), loge(x) или log(x).

Естественият логаритъм ln(x) е дефиниран за всички реални положителни стойности на , както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов логаритъм, а числото се нарича неперово число.

По теоремата на Линдеман-Вайерщрас натуралният логаритъм на всяко едно положително алгебрично число без 1 е трансцендентно число.

Определения[редактиране | редактиране на кода]

Натуралният логаритъм може да се дефинира по няколко еквивалентни начина.

Обратна функция на експонентата[редактиране | редактиране на кода]

Натуралният логаритъм може да се дефинира като обратна функция на експоненциалната функция с равенствата:

С други думи, той е биекция на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно погледнато, той е изоморфизъм между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа относно събирането:

ln(a) илюстриран като площта под кривата f(x) = 1/x от 1 до а. Ако стойността на а е по-малка от 1, площта от а до 1 е отрицателна.

Интегрална дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Формално ln(a) може да се дефинира като областта под графиката на функцията от 1 до , която се дава с интеграла

Той дефинира логаритъма, тъй като удовлетворява основното свойство на логаритмите:

Това може да се покаже чрез заместването по следния начин:

История[редактиране | редактиране на кода]

Идеята за натуралния логаритъм е разбработена от Гегоар дьо Сан-Винсент и Алфонс Антонио де Сараса преди 1649 г.[3] Тяхната работа включва квадратура на хиперболата xy = 1 чрез определяне площта на хиперболичните сектори. Тяхното решение генерира необходимата функция на хиперболичния логаритъм, притежаваща свойства, свързани с натуралния логаритъм.

Едно от най-ранните споменавания на натуралния логаритъм е от Николас Меркатор в работата си Logarithmotechnia, публикувана през 1668 г.[4], въпреки че през 1619 г. учителят по математика Джон Спейдъл вече е бил съставил таблица на натурални логаритми.[5]

Конвенции за обозначения[редактиране | редактиране на кода]

Обозначенията ln x и loge x се отнасят недвусмислено до натуралния логаритъм от , а log x без означена основа може също да се отнася до натуралния логаритъм. Тази употреба е често срещана в математиката, заедно с някои научни контексти, както и в много езици за програмиране. [6] Обаче в някои други контексти, като например химия, log x може да се използва за обозначаване на десетичния логаритъм (с основа 10). Може също да се отнася до двоичния логаритъм (с основа 2) в контекста на компютърните науки, особено в контекста на времевата сложност. В калкулаторите log x може да означава една от двете функции десетичен или натурален логаритъм – другата съответно е означена с еднозначния си символ ln x или lg x.

Площта под хиперболата удовлетворява логаритмичния закон. Тук A(s,t) означава площта под хиперболата между s и t.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
  2. Mathematics for physical chemistry. 3rd. Academic Press, 2005. ISBN 0-12-508347-5. с. 9. Extract of page 9
  3. Burn, R. P. (2001). Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms. Historia Mathematica. pp. 28:1 – 17.
  4. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 2001). "The number e". The MacTutor History of Mathematics archive.
  5. Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics (5th ed.). AMS Bookstore. p. 152. ISBN 0-8218-2102-4.
  6. Including C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and some BASIC dialects