Изоморфизъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Групата на петия корен от единица при умножение е изоморфен на групата на ротации на обикновения петоъгълник при композиция.

В математиката изоморфизъм (гръцки: изо „еднакъв, равен“ и морф „форма“) е биекция, при която алгебричните връзки между елементите на крайното множество са същите, като тези на съответстващите им елементи в началното множество. Неформално, един изоморфизъм е един вид картиране между обектите, което показва връзката между две свойства или операции. Ако съществува един изоморфизъм между две структури, ние ги наричаме изоморфни. В известен смисъл, изоморфните структури са структурно идентични, ако се игнорират по-фините различия, които могат да възникнат от това как те са определени.

Изоморфизмите се формализират чрез теорията на категориите. Морфизъм f : XY в категория е изоморфизъм, ако приема двустранна противоположност, което значи, че има друг морфизъм g : YX в тази категория, такава че gf = 1X и fg = 1Y, където 1X и 1Y са съответно тъждествените морфизми на X и Y.[1]

Предназначение[редактиране | редактиране на кода]

Изоморфизмите се изучават в областта на математиката. Ако две тела са изоморфни, тогава всяко свойство, което е запазено от изоморфизъм и което е вярно за един от обектите, се отнася и за другите. Ако изоморфизъм може да бъде намерен от относително неизвестна част на математиката в някои от добре проучените ѝ раздели, където много теореми са вече доказани и много методи вече са на разположение, тогава функцията може да се използва за задаване на цели проблеми от непозната територия към „здравите основи“, където е по-лесно да се разбере проблема и да се работи с него.

Приложения[редактиране | редактиране на кода]

В абстрактната алгебра има два основни изоморфизма:

  • Групов изоморфизъм, изоморфизъм между групи
  • Изоморфизъм между пръстените

Както автоморфизма на алгебричната структура формира група, така и изоморфизма между две алгебри с обща структура, когато съществува определен изоморфизъм за дефиниране на двете структури, също формира група

В математическия анализ, трансформацията на Лаплас е изоморфично картографиране на трудни диференциални уравнения в по-лесни алгебрични уравнения.

В химията понятието изоморфизъм означава способността на кристалните вещества съвместно да кристализират в еднакви кристалографски системи, т.е. да имат еднаква външна форма и градивните им частици да могат взаимно да се заместват. Изучаването на вътрешния строеж на кристалните вещества е показало, че частиците на много кристални вещества са подредени по един и същ начин, т.е. принадлежат към един и същ структурен тип. За пръв път свойството изоморфизъм е наблюдавано от Мичерлих при KH2PO4 и КН2AsO4.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Awodey, Steve. Isomorphisms. // Category theory. Oxford University Press, 2006. ISBN 9780198568612. с. 11.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Isomorphism“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.