Трансформация на Лаплас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Трансформацията на Лаплас е широкоизползван математически метод за анализ на линейни системи, чиито характеристики не се променят с времето (на английски Linear Time-Invariant Systems, LTI). Наречена е на името на френския математик Пиер Симон дьо Лаплас, който я използвал в своята работа върху теорията на вероятностите. Откривателят ѝ е швейцарският математик Леонард Ойлер.

Трансформацията на Лаплас намира приложение във физиката, оптиката, електрониката, автоматиката, математическия анализ, теорията на вероятностите и обработката на сигнали.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

При дадена трансформацията на Лаплас се дефинира като

където обикновено е функция, зависеща от времето. Резултатът е функция, дефинирана в областта на комплексната честота , като . Долната граница на интеграла означава , идеята на което е да се включи в интегралната трансформация делта-функцията на Дирак (наричана още "импулс").

Свойствата на тази трансформация да преобразува диференцирането и интегрирането съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в полиномни, които са много по-лесни за решаване.

Обратна трансформация на Лаплас[редактиране | редактиране на кода]

Обратната трансформация на Лаплас е комплексният интеграл на Бромич:

въпреки че в практиката тази формула се използва рядко. В инженерните науки и, много често, в математиката се прибягва до таблици с функции и техните трансформации, както и до широко използване на свойствата на трансформацията на Лаплас.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

От дефиницията е ясно, че става въпрос за интегрална трансформация