Уравнение на Лаплас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Уравнението на Лаплас е частно диференциално уравнение от втори ред, кръстено в чест на Пиер-Симон Лаплас, който първи изучава свойствата му. Обикновено, то се записва във вида:

където е оператор на Лаплас, е оператор на дивергенция, е оператор на градиент, а е двойно диференцируема реална функция. По този начин операторът на Лаплас съотнася една скаларна функция към друга скаларна функция.

Ако дясната страна на уравнението е вече известна функция, , тогава се получава:

Този общ случай е известен като уравнение на Поасон. Уравненията на Лаплас и на Поасон са най-простите примери за елиптични частни диференциални уравнения. Всъщност, уравнението на Лаплас е частен случай на уравнението на Хелмхолц.

Общата теория от решения на уравнението на Лаплас, се нарича теория на потенциала. Решенията на уравнението са хармонични функции,[1] които са важни в определени области на физиката, най-вече в електростатиката, гравитацията и динамиката на флуидите. В областта на топлопроводимостта, уравнението на Лаплас е уравнение на топлопроводимостта в стационарно състояние.[2]

Вид в различни координатни системи[редактиране | редактиране на кода]

В Декартови координати:[3]

В цилиндрични координати:[3]

В сферични координати, използвайки конвенцията :[3]

По-общо, в криволинейни координати:

или

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
  2. Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.
  3. а б в Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.