Дивергенция (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Вижте пояснителната страница за други значения на Дивергенция.

Дивергèнцията е диференциален оператор от векторния анализ и представлява скалар, който определя сумарния поток на векторното поле през достатъчно малка повърхност около дадена точка. Дивергенцията се записва като и в триизмерна правоъгълна координатна система се дефинира като:

където са компонентите на векторната функция.

Операцията дивергенция преобразува векторната функция в скаларна. Сумарният поток на полето е геометрична сума на входния поток, наречен сток, и изходния поток (изтòк) през елементарната повърхност около точката с координати ().

Дивергенцията в точка x е границата на отношението на потока през повърхността Si (червени стрелки) към обема за всяка последователност от затворени области V1, V2, V3, … обхващаща x, която се доближава до нулев обем:

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Определението за дивергенция изглежда така:

където е потокът на векторното поле през сферична повърхност с площ , ограничаваща обема . Още по-обща и следователно удобна за използване е дефиницията, когато формата на област с повърхност и обем може да бъде произволна. Единственото изискване е тя да бъде вътре в сфера с радиус, клонящ към нула (т.е. цялата повърхност да е в безкрайно малка околност на дадена точка, което е необходимо, за да може дивергенцията да бъде локална операция и за която очевидно не е достатъчно повърхността и обемът на вътрешността му да клонят към нула). И в двата случая се подразбира, че

Това определение, за разлика от даденото по-горе, не е обвързано с определени координати, например с декартови, което може да бъде допълнително удобство в определени случаи. (Например, ако изберете околност под формата на куб или паралелепипед, лесно се получават формули за декартови координати).

Дефиницията може лесно и пряко да се обобщи за всяко измерение на пространството: в този случай обемът се разбира като -мерен обем, а повърхността е ()-мерна площ на (хипер)повърхност със съответното измерение.

A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge
Дивергенцията на векторни полета с разходящи, сходящи и успоредни разминаващи се вектори. Дивергенцията на векторите от точка е равна на сумата от частната производна по отношение на на компонентата и частната производна по отношение на на компонентата в тази точка:

Физична интерпретация[редактиране | редактиране на кода]

От гледна точка на физиката (както в строгия смисъл, така и в смисъла на интуитивния физичен образ на математическа операция), дивергенцията на векторно поле е индикатор за степента, в която дадена точка в пространството (по-точно, достатъчно малка околност на точка) е източник или приемник на това поле:

— точката на полето е източник на поток;
— точката на полето е приемник на поток;
— няма източници и приемници на поток или те взаимно се компенсират.

Прост, макар и може би донякъде схематичен пример е езеро (за простота, постоянна единична дълбочина с навсякъде хоризонтална скорост на водния поток, която не зависи от дълбочината, като по този начин дава двуизмерно векторно поле в двуизмерно пространство). Ако трябва да има по-реалистична картина, тогава можете да се разгледа хоризонталната проекция на скоростта, интегрирана по вертикалната пространствена координата, която ще даде същата картина на двуизмерно векторно поле върху двуизмерно пространство. За нашите цели картината качествено няма да се различава много от първата опростена картина, но количествено ще бъде нейно много реалистично обобщение. В такъв модел (както в първия, така и във втория вариант) изворите, бликащи от дъното на езерото, ще дадат положителна дивергенция на полето на скоростта на течението, а подводните оттоци (пещери, където водата изтича) ще дадат отрицателна дивергенция.

Дивергенцията на вектора на плътността на тока дава минус скоростта на натрупване на заряд в електродинамиката (тъй като зарядът се запазва, тоест не изчезва и не се появява, а може само да се движи през границите на някакъв обем, за да се натрупа в него или го излезе от него; а ако се появят или изчезнат някъде положителни и отрицателни заряди, те са само в равни количества). (Вижте Уравнение за непрекъснатост).

Дивергенцията на поле, което има силова природа (като на напрегнатостта на полето в електростатиката, електродинамиката или Нютоновата теория на гравитацията), определя същото положение на източниците на полето, които в тези случаи се наричат ​​заряди (електрически заряд в случаите на електростатика и електродинамика, маса в случай на Нютонова гравитация). В тези теории дивергенцията на напрегнатостта на полето с точност до постоянен множител [1] е равна на плътността на заряда (в електростатиката и електродинамиката – плътността на електрическия заряд, в случай на гравитация – плътността на масата; освен това, случаят на гравитацията се различава в знака на тази константа):

за електрическо поле и плътност на електрическия заряд, в СИ;

за нютоновото гравитационно поле.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Бележки[редактиране | редактиране на кода]

  1. За една теория във вакуум, която е фундаментална, тази константа е фундаментална константа, зависеща само от системата от единици; за една феноменологична теория в среда, способна на поляризация, въпросът става малко по-сложен, тъй като коефициентът на пропорционалност се влияе от свойствата (поляризираемостта) на средата – но за хомогенна среда този коефициент също се оказва постоянен, въпреки че вече не е основен, но зависи от субстанцията на носителя.

Литературни източници[редактиране | редактиране на кода]