Единичен вектор

Единичен вектор е вектор с дължина единица, съобразно избрана метрика. Тоест ${\vec {x}}$ е единичен, ако $\parallel {\vec {x}}\parallel =1$.

За всеки произволен вектор ${\vec {v}}$, еднопосочният с него единичен вектор се нарича нормален вектор. Ако с означим с ${\vec {v_{0}}}$ този вектор, то дължината на ${\vec {v}}$ или още наричано – негова нормала. Това е еднозначно с равенството:

${\vec {v_{0}}}={\frac {\vec {v}}{\parallel {\vec {v}}\parallel }}$

При ортономираните координатни системи базисните вектори, освен че са ортогонални и афинни, трябва и да са единични.

Ортогонални координати

Декартови координати

Единичните вектори могат да се използват за представяне на оси в Декартова координатна система. Например, единичните вектори по посока на осите x, y и z в триизмерна Декартова координатна система са

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

Те образуват набор от взаимно ортогонални единични вектори, които в линейната алгебра често се наричат стандартна основа.

Често се обозначава с нормална векторна нотация (например i или ${\vec {\imath }}$), вместо стандартната нотация за единичен вектор ($\mathbf {\hat {\imath }}$). В повечето случаи може да се счете, че i, j и k (или ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }}$ и ${\vec {k}}$) са версори в триизмерна Декартова координатна система. Нотациите $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, or $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, със или без циркумфлекс също се използват, особено там, където i, j, k могат да доведат до объркване с друга величина (например с индексни символи, използвани за обозначение на елемент от редица или масив).

Когато се изразява единичен вектор в пространството с Декартова нотация като линейна комбинация от i, j, k, неговите скаларни компоненти могат да се наричат косинуси на посоката. Стойността на всяка компонента е равна на косинус от ъгъла, образуван от единичния вектор със съответния базисен вектор. Това е един от методите, използвани за описване на ориентацията на права линия, част от нея, ориентирана ос или част от нея

Цилиндрични координати

Трите ортогонални единични вектора, подходящи за цилиндричната симетрия са:

• $\mathbf {\hat {\rho }}$ (също обозначаван като $\mathbf {\hat {e}}$ или ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), представляващ посоката, по която се измерва разстоянието на точката от оста;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, представляващ посоката на движение, която се наблюдава, ако точката се върти обратно на часовниковата стрелка около оста на симетрия;
• $\mathbf {\hat {z}}$, представляващ посоката на оста на симетрия;

Те са свързани с Декартовата основа ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ чрез:

$\mathbf {\hat {\rho }}$ = $\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \varphi \mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ = $-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

Важно е да се отбележи, че $\mathbf {\hat {\rho }}$ и ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ са функции на $\varphi$ и не са постоянни по посока. Когато се диференцира или интегрира в цилиндрични координати, към тези единични вектори също трябва да се приложат операциите. Производните по отношение на $\varphi$ са:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {\rho }} }{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\mathbf {\hat {\rho }}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

Сферични координати

Единичните вектори, подходящи за сферичната симетрия са: $\mathbf {\hat {r}}$, посоката, по която нараства радиалното разстояние от отправната точка; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, посоката, по която ъгълът в равнината x-y нараства обратно на часовниковата стрелка от положителната ос x; ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, посоката, по която ъгълът от положителната ос z нараства. За да се намали излишъка от обозначения, полярният ъгъл $\theta$ обикновено се взема, лежащ между 0 и 180 градуса. Особено важно е да се отбележи контекста на всяка подредена тройка, записана в сферични координати, тъй като ролите на ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ и ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ често се обръщат. Декартовите отношения са:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

Сферичните единични вектори зависят от $\varphi$ и $\theta$, следователно имат 5 възможни ненулеви производни. Те са:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$