Единичен вектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Единичен вектор е вектор с дължина единица, съобразно избрана метрика.[1] Тоест е единичен, ако .

За всеки произволен вектор , еднопосочният с него единичен вектор се нарича нормален вектор. Ако с означим с този вектор, то дължината на или още наричано – негова нормала. Това е еднозначно с равенството:

При ортономираните координатни системи базисните вектори, освен че са ортогонални и афинни, трябва и да са единични.

Ортогонални координати[редактиране | редактиране на кода]

Декартови координати[редактиране | редактиране на кода]

Единичните вектори могат да се използват за представяне на оси в Декартова координатна система. Например, единичните вектори по посока на осите x, y и z в триизмерна Декартова координатна система са

Те образуват набор от взаимно ортогонални единични вектори, които в линейната алгебра често се наричат стандартна основа.

Често се обозначава с нормална векторна нотация (например i или ), вместо стандартната нотация за единичен вектор (). В повечето случаи може да се счете, че i, j и k (или и ) са версори в триизмерна Декартова координатна система. Нотациите , , , or , със или без циркумфлекс също се използват, особено там, където i, j, k могат да доведат до объркване с друга величина (например с индексни символи, използвани за обозначение на елемент от редица или масив).

Когато се изразява единичен вектор в пространството с Декартова нотация като линейна комбинация от i, j, k, неговите скаларни компоненти могат да се наричат косинуси на посоката. Стойността на всяка компонента е равна на косинус от ъгъла, образуван от единичния вектор със съответния базисен вектор. Това е един от методите, използвани за описване на ориентацията на права линия, част от нея, ориентирана ос или част от нея

Цилиндрични координати[редактиране | редактиране на кода]

Трите ортогонални единични вектора, подходящи за цилиндричната симетрия са:

  • (също обозначаван като или ), представляващ посоката, по която се измерва разстоянието на точката от оста;
  • , представляващ посоката на движение, която се наблюдава, ако точката се върти обратно на часовниковата стрелка около оста на симетрия;
  • , представляващ посоката на оста на симетрия;

Те са свързани с Декартовата основа , , чрез:

=
=

Важно е да се отбележи, че и са функции на и не са постоянни по посока. Когато се диференцира или интегрира в цилиндрични координати, към тези единични вектори също трябва да се приложат операциите. Производните по отношение на са:

Сферични координати[редактиране | редактиране на кода]

Единичните вектори, подходящи за сферичната симетрия са: , посоката, по която нараства радиалното разстояние от отправната точка; , посоката, по която ъгълът в равнината x-y нараства обратно на часовниковата стрелка от положителната ос x; , посоката, по която ъгълът от положителната ос z нараства. За да се намали излишъка от обозначения, полярният ъгъл обикновено се взема, лежащ между 0 и 180 градуса. Особено важно е да се отбележи контекста на всяка подредена тройка, записана в сферични координати, тъй като ролите на и често се обръщат. Декартовите отношения са:

Сферичните единични вектори зависят от и , следователно имат 5 възможни ненулеви производни. Те са:

Източници[редактиране | редактиране на кода]