Вектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени -орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства и се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - , и пространство - , където , и са реални числа.

В математиката, физиката и инженерството, евклидов вектор (понякога наричан геометричен или пространствен вектор) или просто вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра. В евклидовата геометрия векторът често се представя от част от линия с определена посока или графично като стрела, която свързва началната точка А с крайната точка B и е означена с

Определение[редактиране | редактиране на кода]

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, на която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори (край) наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка . Всяка от тези насочени отсечки наричаме представител на вектора .

Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор - има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако или разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка , т.е.

  • Нулева насочена отсечка - началната точка А съвпада с крайната точка В
  • Ненулева насочена отсечка - началната точка А не съвпада с крайната точка В
  • Дължина - на насочената отсечка наричаме дължината на отсечката АВ, т.е разстоянието

от А до В.

Елементи на ненулевия вектор[редактиране | редактиране на кода]

  • начало - точка А
  • край - точка В
  • посока - посоката на лъча
  • директриса - правата АВ
  • дължина - дължината на АВ

Еднопосочни и разнопосочни вектори[редактиране | редактиране на кода]

  • Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е , ако лъчите и са еднопосочни
  • Две ненулеви отсечки са разнопосочни, т.е. , ако лъчите и са разнопосочни

Свойства на ненулевите вектори[редактиране | редактиране на кода]

  • Всяка насочена отсечка е равна на себе си;
  • Ако , то и ;
  • Ако и , то .

Насочена права[редактиране | редактиране на кода]

Ос (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата - за отрицателна.

Алгебрична мярка[редактиране | редактиране на кода]

Алгебрична мярка (относителна стойност) АВ на ненулевата насочена отсечка АВ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като или

Действия с вектори[редактиране | редактиране на кода]

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ

Видове вектори[редактиране | редактиране на кода]

  • Векторът с представител наричаме противоположен на вектора с представител .
  • Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
  • Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

Действия с вектори в равнината[редактиране | редактиране на кода]

Равенство[редактиране | редактиране на кода]


Сума[редактиране | редактиране на кода]

  • Правило на триъгълника:
  • Правило на успоредника:
  • Правило на многоъгълника:
  • Свойства:

Разлика[редактиране | редактиране на кода]

  • От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

Произведение[редактиране | редактиране на кода]

Произведение с реално число[редактиране | редактиране на кода]

Произведение на вектор с число λ ∈ R наричаме вектора с дължината и с посока:

, ако λ>0 и

, ако λ<0

Ако или , то .


Свойства на произведението[редактиране | редактиране на кода]

Вектори в пространството[редактиране | редактиране на кода]

Векторна база в пространството[редактиране | редактиране на кода]

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Нека и са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека

Векторите се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Тройка некомпланарни вектори в пространството се наричат векторна база в пространството.

Теореми[редактиране | редактиране на кода]

Ако векторите образуват база в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако е векторна база в пространството, то равенство от вида е възможно тогава и само тогава, когато

Скаларно произведение на вектори в пространството[редактиране | редактиране на кода]

Скаларно произведение на два ненулеви вектора е числото

където е косинусът на ъгъла между двата вектора, a и са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала .