Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ е вектор с дължина, равна на произведението от големините им и синуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно синусът му, а оттам — и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана).

Ако са нанесени векторите ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ с общо начало, то директрисата на вектора $({\vec {a}}\times {\vec {b}})$$({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$${\vec {b}}$. Посоката на вектора се определя с правилото $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})$$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})$ да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Ако векторите ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ са колинеарни (включително ако някой от тях е нулев), то векторното им произведение е нулевият вектор.

Свойства

• Антикомутативност: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$
• Линейност: $(\lambda {\vec {a}})\times (\mu {\vec {b}})=\lambda \mu ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$$(\lambda {\vec {a}})\times (\mu {\vec {b}})=\lambda \mu ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ за произволни реални числа $\lambda$$\lambda$ и $\mu$$\mu$.
• Дистрибутивност: $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$$({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$

Аналитично представяне

Ако векторите ${\vec {a}}$${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$${\vec {b}}$ са зададени с координатите си ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ и ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ в тримерното пространство и ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$.