Векторно произведение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Векторното произведение на два вектора и е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите и , образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.

Ъгълът между два вектора приема стойности от до , следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

като тук .

Векторното произведение на и

Ако са нанесени векторите и с общо начало, то директрисата на вектора минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от и . Посоката на вектора се определя с правилото да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Аналитично представяне[редактиране | редактиране на кода]

Ако векторите и са зададени с координатите си и в тримерното пространство и са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

.

По-подробно горната формула изглежда така:

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

  • Антикомутативност:

Доказателство:

  • Дистрибутивност:

Доказателство:

Тъй като , то:

  • Линейност: за произволни реални числа и .

Доказателство:

Понеже и , то:

  • Ако , то

Доказателство:

Щом , то , откъдето следва, че

Пресмятане на векторното произведение[редактиране | редактиране на кода]

3D Vector.svg

Нека са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

.

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

.

Освен това лесно може да се покаже, че (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите и . Понеже

то векторното произведение ще бъде равно на:

Геометрично тълкуване[редактиране | редактиране на кода]

Cross product parallelogram.svg

Нека с бележим лицето на успоредника и нека е ъгълът, заключен между и . Тогава:

Приложение[редактиране | редактиране на кода]

  • В аналитичната геометрия: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;
  • В механиката: пресмятане на момент на сила, въртящ момент;
  • В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро - и хидродинамика): пресмятане на ротацията на векторно поле.