Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ , образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.

Ъгълът между два вектора приема стойности от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ , следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

$\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )$

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )\ \mathbf {\hat {n}}$

като тук $\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert }}$ .

Ако са нанесени векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ с общо начало, то директрисата на вектора $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ . Посоката на вектора се определя с правилото $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Аналитично представяне

Ако векторите $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ са зададени с координатите си $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ в тримерното пространство и $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)$ .

По-подробно горната формула изглежда така: ${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathbf {i} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)-\mathbf {j} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{matrix}}\right)+\mathbf {k} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\end{aligned}}$

Свойства

Антикомутативност: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$

Доказателство:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathbf {b} \times \mathbf {a} \end{aligned}}$

Дистрибутивност: $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

Доказателство:

Тъй като $\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},\ a_{2}+b_{2},\ a_{3}+b_{3})$ , то:

${\begin{aligned}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{a_{1}+b_{1}}&{a_{2}+b_{2}}&{a_{3}+b_{3}}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)+\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} \end{aligned}}$

Линейност: $(\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ за произволни реални числа $\lambda$ и $\mu$ .

Доказателство:

Понеже $\lambda \mathbf {a} =(\lambda a_{1},\ \lambda a_{2},\ \lambda a_{3})$ и $\mu \mathbf {b} =(\mu b_{1},\ \mu b_{2},\ \mu b_{3})$ , то:

${\begin{aligned}(\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\lambda a_{1}&\lambda a_{2}&\lambda a_{3}\\\mu b_{1}&\mu b_{2}&\mu b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\end{aligned}}$

Ако $\mathbf {a} \parallel \mathbf {b}$ , то $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$

Доказателство:

Щом $\mathbf {a} \parallel \mathbf {b}$ , то $\sphericalangle (\mathbf {a} ,\ \mathbf {b} )=0^{\circ }$ , откъдето следва, че

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin 0^{\circ }\ \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {0}$

Пресмятане на векторното произведение

Нека $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}={\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}={\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}={\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}$ .

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}$ .

Освен това лесно може да се покаже, че $\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0}$ (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).