Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ е вектор с дължина, равна на произведението от големините им и синуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно синусът му, а оттам — и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана).

Ако са нанесени векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с общо начало, то директрисата на вектора $(\vec{a} \times \vec{b})$ минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Посоката на вектора се определя с правилото $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b})$ да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Ако векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ са колинеарни (включително ако някой от тях е нулев), то векторното им произведение е нулевият вектор.

Свойства

• Антикомутативност: $\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})$
• Линейност: $(\lambda\vec{a})\times(\mu\vec{b})=\lambda\mu(\vec{a}\times\vec{b})$ за произволни реални числа $\lambda$ и $\mu$.
• Дистрибутивност: $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$

Аналитично представяне

Ако векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ са зададени с координатите си $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ в тримерното пространство и $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то $\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$.