Евклидово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката евклидово пространство е вид линейно пространство, в което могат да се дефинират понятията дължина на вектор и големина на ъгъл между два вектора.

Тримерното пространство, в което живеем, е Евклидово пространство, по-точно тримерно евклидово пространство, и се изучава от стереометрията. Всяка равнина представлява двумерно евклидово пространство и се изучава от планиметрията. По-общо за всяка размерност n може да се дефинира n-мерно евклидово пространство, което представлява обобщение на двумерния и тримерния случай. В евклидовите пространства са изпълнени всички аксиоми на Евклид, тоест те са модел за евклидова геометрия. До 19 в. геометрията се занимава изключително с изучаването на тези пространства. През 19в. се открива съществуването на модели на неевклидова геометрия.

Формална дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Нека V е линейно пространство над полето на реалните числа. Нека е зададено изображение „< , >“, което на всеки два вектора v и w съпоставя реално число, означено с <v,w>. Ще казваме, че V е евклидово пространство, а изображението – скаларно произведение, ако са изпълнени следните свойства:

  1. <v,w> = <w,v>
  2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
  3. <λv,w> = λ<v,w>
  4. <v,v> > 0 , при v0 и <v,v> = 0 , само ако v = 0

където u, v, wV, а λ е произволно реално число.

Мотивация. Норма и ъгъл[редактиране | редактиране на кода]

Причината за въвеждането на евклидовите пространства е, че в обикновено линейно пространство не е възможно еднозначно да се дефинират понятията дължина и ъгъл, така че да имат познатите свойства от двумерното и тримерното пространство. Евклидовите пространства ни позволяват да дефинираме тези понятия за произволно голяма размерност.

В равнината скаларното произведение на векторите v и w се дефинира чрез формулата:

където чрез се отбелязва дължината на вектора v, наричана още норма, а α е ъгъла между двата вектора. По горната дефиниция множеството на векторите в равнината заедно с това скаларно произведение е евклидово пространство. От формулата могат лесно да се изведат следните зависимости:

  1. и
  2. , ако и .

Десните части на горните две формули могат да се пресмятат не само в равнината, но и във всяко евклидово пространство. Това позволява да се дефинират понятията норма на вектор чрез формула 1. и ъгъл между два вектора като аркускосинуса на стойността, която се получава по формула 2. С така въведената норма евклидовото пространство става нормирано.

Тъй като за всяко линейно пространство скаларно произведение може да се дефинира по различни начини, то и дължината на векторите може да бъде различна. Всъщност за всеки фиксиран вектор може да се избере скаларно произведение така, че нормата му да е произволно положително число.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

История[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]