Функция на Хевисайд

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Праговата функция на Хевисайд

Функцията на Хевисайд (единичната прагова функция, функция на единичния скок) е функция, равна на нула за отрицателни стойности на аргумента и единица — за положителни. В нулата тази функция е неопределена, обаче обикновено я доопределят с някое число, така че областта на определението на функцията да съдържа в себе си всички точки от числовата ос. Най-често стойността на функцията в нулата не е важна, затова се използват различни определения на функцията на Хевисайд, удобни по едни или други съображения, например

Друго разпространено определение:

Функцията на Хевисайд се използва широко в математическия апарат на теорията на управлението и теорията на сигналите за представяне на сигнали, преминаващи в определен момент от времето от едно състояние в друго. В математическата статистика тази функция се прилага, например, за запис на емпиричната функция на разпределението. Наречена е в чест на Оливър Хевисайд.

Функцията на Хевисайд представлява интегрираната функция за делта-функцията на Дирак, , която може да се запише и като:

Дискретна форма[редактиране | редактиране на кода]

Дискретната функция на Хевисайд може да се дефинира като функция от целочисления аргумент :

където е цяло число.

Дискретният единичен импулс представлява първата производна на дискретната функция на Хевисайд:

Аналитични форми[редактиране | редактиране на кода]

За по-удобно използване на функцията на Хевисайд може да се апроксимира с помощта на непрекъсната функция:

където на по-голямо съответства по-стръмен наклон на функцията в точката . Ако приемем, че , Уравнението може да бъде написано в гранична форма:

Запис[редактиране | редактиране на кода]

Често се използва и е полезна интегралната форма на запис на единичната функция:

H(0)[редактиране | редактиране на кода]

Стойността на функцията в нулата често се задава като , или . е най-употребяваният вариант, тъй като по съображения за симетрия в точката на прекъсване от първи род е удобно да доопределим функцията със средно аритметично, съответстващо на еднострани граници, а освен това в този случай функцията на Хевисайд е свързана с функция на знака:

Стойността в нулата може да се запише явно чрез функцията:

Съществуват няколко други апроксимации чрез непрекъснати функции:

Преобразуване на Фурие[редактиране | редактиране на кода]

Производната на функцията на Хевисайд е равна на делта-функцията (т. е. функцията на Хевисайд е интегрирана делта-функция):

.

Следователно, като приложим преобразуването на Фурие към интегрираната делта-функция , получаваме изображението ѝ от вида:

т.е.:

(вторият член съответства на нулева честота в разлагането и описва постоянното преместване на функцията на Хевисайд нагоре; без него би се получила нечетна функция).