Функция на Хевисайд

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Праговата функция на Хевисайд

Функцията на Хевисайд (единичната прагова функция, функция на единичния скок) е функция, равна на нула за отрицателни стойности на аргумента и единица — за положителни. В нулата тази функция е неопределена, обаче обикновено я доопределят с някое число, така че областта на определението на функцията да съдържа в себе си всички точки от числовата ос. Най-често стойността на функцията в нулата не е важна, затова се използват различни определения на функцията на Хевисайд, удобни по едни или други съображения, например

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

Друго разпространено определение:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ 1,           & x \geqslant 0
  \end{cases}

Функцията на Хевисайд се използва широко в математическия апарат на теорията на управлението и теорията на сигналите за представяне на сигнали, преминаващи в определен момент от времето от едно състояние в друго. В математическата статистика тази функция се прилага, например, за запис на емпиричната функция на разпределението. Наречена е в чест на Оливър Хевисайд.

Функцията на Хевисайд представлява интегрираната функция за делта-функцията на Дирак, H' = \delta, която може да се запише и като:

 H(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt

Дискретна форма[редактиране | edit source]

Дискретната функция на Хевисайд може да се дефинира като функция от целочисления аргумент n:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0; \\ 1, & n \geqslant 0, \end{cases}

където n е цяло число.

Дискретният единичен импулс представлява първата производна на дискретната функция на Хевисайд:

 \delta[n] = H[n] - H[n-1].

Аналитични форми[редактиране | edit source]

За по-удобно използване на функцията на Хевисайд може да се апроксимира с помощта на непрекъсната функция:

H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{th}\,kx = \frac{1}{1+e^{-2kx}},

където на по-голямо k съответства по-стръмен наклон на функцията в точката x=0. Ако приемем, че H(0)=1/2, Уравнението може да бъде написано в гранична форма:

Запис[редактиране | edit source]

Често се използва и е полезна интегралната форма на запис на единичната функция:

H(x)=- \lim_{ \varepsilon \to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\limits\!\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau

H(0)[редактиране | edit source]

Стойността на функцията в нулата често се задава като H(0) = 0, H(0)=1/2 или H(0)=1. H(0)=1/2 е най-употребяваният вариант, тъй като по съображения за симетрия в точката на прекъсване от първи род е удобно да доопределим функцията със средно аритметично, съответстващо на еднострани граници, а освен това в този случай функцията на Хевисайд е свързана с функция на знака:

 H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
 H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn x \right )

Стойността в нулата може да се запише явно чрез функцията:

 H_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0;
             \\ n, & x = 0;
             \\ 1, & x > 0.
  \end{cases}
H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\,\mathrm{th}\, kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.

Съществуват няколко други апроксимации чрез непрекъснати функции:

H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\, kx \right) \
H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\, kx \right).

Преобразуване на Фурие[редактиране | edit source]

Производната на функцията на Хевисайд е равна на делта-функцията (т. е. функцията на Хевисайд е интегрирана делта-функция):

H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\! \delta(t)\,dt.

Следователно, като приложим преобразуването на Фурие към интегрираната делта-функция ~H(t), получаваме изображението ѝ от вида:

\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),

т.е.:

H(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\! 
\left(\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right) e^{i\omega t}\, d\omega

(вторият член съответства на нулева честота в разлагането и описва постоянното преместване на функцията на Хевисайд нагоре; без него би се получила нечетна функция).