Конволюция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Конволюция (от лат. convolutus, pp. от convolvere - оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

,

където и са функции, интегрируеми в интервала , а знакът бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва преобразувание на Фурие, тъй като при преобразувание на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако и образите на функциите и , то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива се въвежда съответно отместване и се интегрира по всяка променлива . Например за функции на две променливи пълната конволюция е

Интерпретация[редактиране | редактиране на кода]

Конволюция на две правоъгълни функции

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, да речем се инвертира () и се отмества спрямо другата на отстояние и се изчислява определения интеграл от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на нула интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

Свойства на конволюцията[редактиране | редактиране на кода]

Комутативност
Асоциативност
Дистрибутивност
Асоциативност със скаларен параметър

Ако импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

в сила е следното равенство

Приложения[редактиране | редактиране на кода]

Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

  • В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
  • В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
  • При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в алгоритми за намиране на контурите на обекти.