Холоморфна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Холоморфните функции са основният обект изучаван от комплексния анализ. Това са функции дефинирани върху отворено подмножество на комплексната равнина C със стойности в C които са комплексно-диференцируеми във всяка точка. Това условие е много по-силно от условието за реална диференцируемост и от него следва, че функцията е гладка (тоест има производни от произволен ред) и е напълно определена от нейния ред на Тейлър. В този контекст терминът аналитична функция често се използва като синоним, въпреки че понятието "холоморфна функция" има и други значения. Функция, холоморфна в цялата равнина се нарича цяла функция.

Дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Нека U бъде отворено подмножество на C и f : UC бъде комплекснозначна функция дефинирана върху U. Казваме, че f е комплексно-диференцируема в точка z0 от U ако границата

съществува.

Границата тук се взима по всички редици от комплексни числа клонящи към z0, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с f '(z0). Ако f е комплексно-диференцируема във всяка точка z0 от U, казваме, че f е холоморфна в U. Казваме, че f е холоморфна в точката z0 ако е холоморфна в някаква околност на z0. Функцията f е холоморфна в някакво неотворено множество A, ако е холоморфна в отворено множество съдържащо A.

Литература[редактиране | редактиране на кода]

  • Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", 1992