Аналитична функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката под аналитична функция се разбира функция, която е зададена локално със сходящ степенен ред. Аналитичните функции представляват своеобразно обобщение на полиномите. Прави се разлика между аналитична функция на реална променлива и аналитична функция на комплексна променлива (холоморфна функция). Макар че и двата вида имат някои общи свойства (например диференцируемост), холоморфните функции притежават допълнителни свойства, които липсват при аналитичните функции на реална променлива.

Определение[редактиране | edit source]

Една функция е реална аналитична в отвореното множество D от реалната права, ако за всяка точка x_0\in D е възможно представяне по следния начин:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots,

където коефициентите a0, a1, ... са реални числа и степенният ред е сходящ за всяко x в околност на x0.

Казано по друг начин, аналитична функция е безкрайно диференцируема функция в D, чиито тейлъров ред във всяка точка x0 в D


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

е сходящ за всяко x в околност на x0 и е равен на f(x).

Определението за комплексна аналитична функция се получава като заменим реална права с комплексна равнина в горните редове.

Примери[редактиране | edit source]

  • Всеки комплексен полином (от степен n) е аналитичен. Това се дължи на факта, че коефициентите пред членовете от степен по-висока от n са нули и полиномът съвпада с тейлоровия си ред.
  • Показателната функция е аналитична, защото нейният тейлоров ред е сходящ навсякъде в дефиниционната ѝ област.
  • Функцията абсолютна стойност върху реалната права или комплексната равнина не е аналитична, понеже не е диференцируема в 0.

Свойства на аналитичните функции[редактиране | edit source]

  • Сбор, произведение и композиция на аналитични функции е аналитична функция.
  • Реципрочната функция на аналитична функция, която не се анулира, е аналитична.
  • Ако функцията f е аналитична в точката x\in D, то тя притежава производни от произволен ред в x\in D. Обратното твърдение не е вярно.
  • За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω), съдържащо всички ограничени аналитични функции u : Ω → C е банахово пространство спрямо супремум-нормата. Че границата на равномерно сходяща редица от аналитични функции е аналитична функция, се доказва в (при поставените условия) чрез теоремата на Морера.

Виж още[редактиране | edit source]

Литература[редактиране | edit source]

  • Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", 1992