Тригонометрични тъждества

Тригонометричните тъждества са групи равенства и неравенства в тригонометрията, които свързват тригонометричните функции и които са в сила за всяка стойност на променливите, за която всички части на равенството са дефинирани. Геометрично това са тъждества, включващи определени функции на един или повече ъгли. Те се различават от триъгълните тъждества, които са тъждества, потенциално включващи ъгли, но също така включващи дължини на страни или други дължини на триъгълник.

Тези тъждества са полезни, когато изрази, включващи тригонометрични функции, трябва да бъдат опростени. Важно приложение е интегрирането на нетригонометрични функции: често срещана техника включва първо използване на правилото за заместване с тригонометрична функция и след това опростяване на получения интеграл с тригонометрично тъждество.

Фиг. 1. Пример за 6 тригонометрични функции от ъгъла θ = 0,7 радиана, построен в единична окръжност. Величините, отбелязани с 1, Sec(θ) и Csc(θ) са равни на дължините на сегментите от лъча, изходящ от центъра на окръжността. Величините Sin(θ), Tan(θ) и 1 са равни на височините над оста x, величините Cos(θ), 1 и Cot(θ) са равни на дължините на сегментите от оста x от центъра на окръжността.

Фиг. 2. Тригонометрични функции и тъждества. Всички правоъгълни триъгълници са подобни, т.е. съотношенията между съответните им страни са равни. За sin, cos и tan радиусът с единична дължина образува хипотенузата на триъгълника, който ги определя. Реципрочните функции sec и csc възникват като съотношения на страните в триъгълниците, където тази единична права вече не е хипотенуза. Триъгълникът, оцветен в синьо, илюстрира тъждеството $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$, а червеният триъгълник показва, че $1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$.

Основни тригонометрични формули

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
1.1	$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$
1.2	$1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.3	$1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \cdot \csc ^{2}\theta$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$
1.5	$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

• Формула (1.1) е следствие от теоремата на Питагор.
• Формули (1.2), (1.3) и (1.4) се получават от формула (1.1) чрез деление съответно на $\cos ^{2}\alpha$, $\sin ^{2}\alpha$ и $\cos ^{2}\alpha .\sin ^{2}\alpha$.
• Формула (1.5) следва от определението за тангенс и котангенс.

Питагорови тъждества

Основното тригонометрично тъждество (1.1) свързва функциите синус и косинус и е пряко следствие на питагоровата теорема:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,$

Това уравнение може да бъде решено както за синуса, така и за косинуса:

${\begin{aligned}\sin \alpha &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }},\\\cos \alpha &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}.\end{aligned}}$

като променливият знак зависи от квадранта на ъгъла $\alpha .$

С разделянето на основното тъждество на $\sin ^{2}\alpha$, $\cos ^{2}\alpha$ или и на двете се получават основните тъждества за тангенс $(\operatorname {tg} \alpha ,\tan \theta )$, котангенс $(\operatorname {cotg} \alpha ,\operatorname {ctg} \alpha ,\cot \theta )$, секанс $(\operatorname {sec} \alpha ,\sec \theta )$, косеканс $(\operatorname {cosec} \alpha ,\csc \theta )$:

${\begin{aligned}&1+\operatorname {cotg} ^{2}\alpha =\operatorname {cosec} ^{2}\alpha ,\\&1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha =\sec ^{2}\alpha ,\\&\sec ^{2}\alpha +\operatorname {cosec} ^{2}\alpha =\sec ^{2}\alpha \cdot \operatorname {cosec} ^{2}\alpha .\end{aligned}}$

Въз основа на основните тригонометрични тъждества всяка от тригонометричните функции може да се изрази чрез някоя друга тригонометрична функция:

Всяка тригонометрична функция, изразена чрез всяка от останалите пет

изразена чрез	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$	$\sec \theta$	$\csc \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\csc \theta$

Отражения, измествания и периодичност

Чрез изследване на единичната окръжност могат да се установят следните свойства на тригонометричните функции.

Отражения

Когато посоката на Евклидов вектор е представена с ъгъл $\theta$, това е ъгълът, определен от свободния вектор (изхождащ от началото на координатната система) и положителния единичен вектор $x$. Същата концепция може да се приложи и към линии в Евклидово пространство, където ъгълът е този, определен от успоредна на дадената линия през началото на координатната система и положителната ос $x$. Отражение или отразен ъгъл на ъгъла $\theta$ е ъгъл, който e по-мълък с $\theta$ от 0°, 90°, 180°, 270° и 360°.

Фиг. 3. Трансформация на координати (a,b) при изместване на ъгъла на отражение $\alpha$ на стъпки от ${\frac {\pi }{4}}$

На фиг. 3 е показана единична окръжност с разгънат ъгъл $\theta$, нанесена в координати $(a,b)$. Тъй като ъгълът се отразява на стъпки от 45° или ${\frac {\pi }{4}}$ радиана, координатите се трансформират. За трансформация от ${\frac {\pi }{4}}$ или 90° – θ, координатите се трансформират в $(b,a)$. Друго увеличение на ъгъла на отражение с ${\frac {\pi }{4}}$ (общо 90° или 180° – θ) трансформира координатите в $(-a,b)$. Трето увеличение на ъгъла на отражение с още ${\frac {\pi }{4}}$ (общо 135° или 270° – θ) трансформира координатите в $(-b,-a)$. Последно увеличение от ${\frac {\pi }{4}}$ (общо 180° или 360° – θ) трансформира координатите в $(a,-b)$. Ако линия (вектор) с посока $\theta$ се отразява около линия с посока $\alpha$, тогава ъгълът на посоката $\theta ^{\prime }$ на тази отразена линия (вектор) има стойност $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta$.

Стойностите на тригонометричните функции на тези ъгли $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ за специфични ъгли $\alpha$ удовлетворяват прости тъждества: или са равни, или имат противоположни знаци, или използват допълнителната тригонометрична функция. Те са известни още като редукционни формули.

Тригонометрични функции от отразени ъгли $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta$ на ъгъла $\theta$

Обратен ъгъл $\theta ^{\prime }=-\theta$, $\,\,\,\alpha =0$ четни/нечетни тъждества	Допълващ ъгъл до 90° $\theta ^{\prime }={\tfrac {\pi }{2}}-\theta ,$ $\alpha ={\tfrac {\pi }{4}}$	Допълващ ъгъл до 180° $\theta ^{\prime }=\pi -\theta ,$ $\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}$	Допълващ ъгъл до 270° $\theta ^{\prime }={\tfrac {3\pi }{2}}-\theta ,$ $\alpha ={\tfrac {3\pi }{4}}$	Допълващ ъгъл до 360° $\theta ^{\prime }=2\pi -\theta ,$ $\alpha =\pi$ както при обратен ъгъл $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$

Измествания и периодичност

Фиг. 4. Трансформация на координати $(a,b)$ при изместване на ъгъла $\theta$ със стъпки от ${\frac {\pi }{2}}$

На фиг. 4 е изобразена единична окръжност с отместени ъгли, означени с цветни дъги и стрелки. Оригиналният ъгъл $\theta$ е означен с червено и горният му лъч пресича окръжността в точка с координати $(a,b)$. При увеличаване на ъгъла с 90°, т. е. ${\frac {\pi }{2}}$ радиана, координатите се трансформират в $(-b,a)$ – оранжево. Друго увеличение от 180° $\left(\pi \,\,{\text{rad}}\right)$ трансформира координатите до $(-a,-b)$ /зелено/. Третото увеличение с 270° $\left({\frac {3\pi }{2}}\,\,{\text{rad}}\right)$ трансформира координатите до $(b,a)$ – синьо. Последното увеличение с 360° $\left(2\pi \,\,{\text{rad}}\right)$ трансформира координатите отново до $(b,a)$ /червено/. Аналогично се получават отместените ъгли чрез намаляване на ъгъла, като намаляването с $\alpha$ е равно на увеличаване с $360^{\circ }-\alpha$, т.е. отместеният ъгъл $\theta ^{\prime }=\theta \mp \alpha =\theta \pm \left(360^{\circ }-\alpha \right)$.

Тъй като абсцисата означава косинуса, а ординатата – синуса на ъгъла, отчитайки равенствата $\cos(\theta )=a$ и $\sin(\theta )=b$, могат да се получат стойностите на тригонометричните функции за посочените измествания.

Тригонометрични функции от отместени ъгли $\theta ^{\prime }=\theta \pm \alpha$
с измествания части от периода и цели периоди $\alpha =45^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },k\cdot 360^{\circ }$, изразени в градуси

Четвърт период $\alpha =90^{\circ },45^{\circ }$	Половин период $\alpha =180^{\circ },90^{\circ }$	Три четвърти период $\alpha =270^{\circ },135^{\circ }$	Цели периоди $\alpha =k\cdot 360^{\circ },k\cdot 180^{\circ }$	Период
$\sin(\theta \pm 90^{\circ })=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta \pm 180^{\circ })=-\sin \theta$	$\sin(\theta \pm 270^{\circ })=\mp \cos \theta$	$\sin(\theta \pm k\cdot 360^{\circ })=\sin \theta$	$360^{\circ }$
$\cos(\theta \pm 90^{\circ })=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta \pm 180^{\circ })=-\cos \theta$	$\cos(\theta \pm 270^{\circ })=\pm \sin \theta$	$\cos(\theta \pm k\cdot 360^{\circ })=\cos \theta$	$360^{\circ }$
$\tan(\theta \pm 45^{\circ })={\frac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta \pm 90^{\circ })=-\cot \theta$	$\tan(\theta \pm 135^{\circ })={\frac {\tan \theta \mp 1}{1\pm \tan \theta }}$	$\tan(\theta \pm k\cdot 180^{\circ })=\tan \theta$	$180^{\circ }$
$\cot(\theta \pm 45^{\circ })={\frac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta \pm 90^{\circ })=-\tan \theta$	$\cot(\theta \pm 135^{\circ })={\frac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}$	$\cot(\theta \pm k\cdot 180^{\circ })=\cot \theta$	$180^{\circ }$
$\sec(\theta \pm 90^{\circ })=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta \pm 180^{\circ })=-\sec \theta$	$\sec(\theta \pm 270^{\circ })=\pm \csc \theta$	$\sec(\theta \pm k\cdot 360^{\circ })=\sec \theta$	$360^{\circ }$
$\csc(\theta \pm 90^{\circ })=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta \pm 180^{\circ })=-\csc \theta$	$\csc(\theta \pm 270^{\circ })=\mp \sec \theta$	$\csc(\theta \pm k\cdot 360^{\circ })=\csc \theta$	$360^{\circ }$

Тригонометрични функции от отместени ъгли $\theta ^{\prime }=\theta \pm \alpha$
с измествания части от периода и цели периоди $\alpha ={\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{2}},\pi ,2\pi$, изразени в радиани

Четвърт период $\alpha ={\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{4}}$	Половин период $\alpha =\pi ,{\frac {\pi }{2}}$	Три четвърти период $\alpha ={\frac {3\pi }{2}},{\frac {3\pi }{4}}$	Цели периоди $\alpha =k\cdot 2\pi ,k\cdot \pi$	Период
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta \pm \pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{2}})=\mp \cos \theta$	$\sin(\theta \pm k\cdot 2\pi )=\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta \pm \pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{2}})=\pm \sin \theta$	$\cos(\theta \pm k\cdot 2\pi )=\cos \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\frac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{4}})={\frac {\tan \theta \mp 1}{1\pm \tan \theta }}$	$\tan(\theta \pm k\cdot \pi )=\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\frac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{4}})={\frac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}$	$\cot(\theta \pm k\cdot \pi )=\cot \theta$	$\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta \pm \pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{2}})=\pm \csc \theta$	$\sec(\theta \pm k\cdot 2\pi )=\sec \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta \pm \pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta \pm {\tfrac {3\pi }{2}})=\mp \sec \theta$	$\csc(\theta \pm k\cdot 2\pi )=\csc \theta$	$2\pi$

Тригонометрични функции от отместени ъгли $\theta ^{\prime }=\alpha \pm \theta$
с измествания $\theta$ на части от периода и цели периоди $\alpha =90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ },k\cdot 360^{\circ }$, изразени в градуси

$\alpha =90^{\circ }$	$\alpha =180^{\circ }$	$\alpha =270^{\circ }$	$\alpha =k\cdot 360^{\circ }$	Период
$\sin(90^{\circ }\pm \theta )=\cos \theta$	$\sin(180^{\circ }\pm \theta )=\mp \sin \theta$	$\sin(270^{\circ }\pm \theta )=-\cos \theta$	$\sin(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\pm \sin \theta$	$360^{\circ }$
$\cos(90^{\circ }\pm \theta )=\mp \sin \theta$	$\cos(180^{\circ }\pm \theta )=-\cos \theta$	$\cos(270^{\circ }\pm \theta )=\pm \sin \theta$	$\cos(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\cos \theta$	$360^{\circ }$
$\tan(90^{\circ }\pm \theta )=\mp \cot \theta$	$\tan(\cdot 180^{\circ }\pm \theta )=\pm \tan \theta$	$\tan(270^{\circ }\pm \theta )=\mp \cot \theta$	$\tan(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\pm \tan \theta$	$180^{\circ }$
$\cot(90^{\circ }\pm \theta )=\mp \tan \theta$	$\cot(180^{\circ }\pm \theta )=\pm \cot \theta$	$\cot(270^{\circ }\pm \theta )=\mp \tan \theta$	$\cot(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\pm \cot \theta$	$180^{\circ }$
$\sec(90^{\circ }\pm \theta )=\mp \csc \theta$	$\sec(180^{\circ }\pm \theta )=-\sec \theta$	$\sec(270^{\circ }\pm \theta )=\pm \csc \theta$	$\sec(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\sec \theta$	$360^{\circ }$
$\csc(90^{\circ }\pm \theta )=\sec \theta$	$\csc(180^{\circ }\pm \theta )=\mp \csc \theta$	$\csc(270^{\circ }\pm \theta )=-\sec \theta$	$\csc(k\cdot 360^{\circ }\pm \theta )=\pm \csc \theta$	$360^{\circ }$

Тригонометрични функции от отместени ъгли $\theta ^{\prime }=\alpha \pm \theta$
с измествания $\theta$ на части от периода и цели периоди $\alpha ={\tfrac {\pi }{2}},\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}},2\pi$, изразени в радиани

$\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\alpha =\pi$	$\alpha ={\frac {3\pi }{2}}$	$\alpha =k\cdot 2\pi$	Период
$\sin({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\cos \theta$	$\sin(\pi \pm \theta )=\mp \sin \theta$	$\sin({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=-\cos \theta$	$\sin(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\pm \sin \theta$	$360^{\circ }$
$\cos({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \sin \theta$	$\cos(\pi \pm \theta )=-\cos \theta$	$\cos({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=\pm \sin \theta$	$\cos(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\cos \theta$	$360^{\circ }$
$\tan({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \cot \theta$	$\tan(\cdot \pi \pm \theta )=\pm \tan \theta$	$\tan({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \cot \theta$	$\tan(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\pm \tan \theta$	$180^{\circ }$
$\cot({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \tan \theta$	$\cot(\pi \pm \theta )=\pm \cot \theta$	$\cot({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \tan \theta$	$\cot(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\pm \cot \theta$	$180^{\circ }$
$\sec({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\mp \csc \theta$	$\sec(\pi \pm \theta )=-\sec \theta$	$\sec({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=\pm \csc \theta$	$\sec(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\sec \theta$	$360^{\circ }$
$\csc({\tfrac {\pi }{2}}\pm \theta )=\sec \theta$	$\csc(\pi \pm \theta )=\mp \csc \theta$	$\csc({\tfrac {3\pi }{2}}\pm \theta )=-\sec \theta$	$\csc(k\cdot 2\pi \pm \theta )=\pm \csc \theta$	$360^{\circ }$

Тригонометрични функции от сума и разлика на ъгли

Функции от сума и разлика на два ъгъла

Фиг. 5. Геометрично представяне на тъждествата за синус и косинус от сума на ъгли
$\sin(\alpha +\beta )$ и $\cos(\alpha +\beta )$

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Тъждествата за разлика на ъглите за $\sin(\alpha -\beta )$ и $\cos(\alpha -\beta )$ могат да бъдат изведени от версиите за сума на ъглите (и обратно) чрез заместване на $\beta$ с $-\beta$ и използване на фактите, че $\sin(-\beta )=-\sin \beta$ и $\cos(-\beta )=\cos \beta$. Те могат да се разглеждат и като изразяване на скаларното произведение и векторното произведение на два вектора чрез косинус и синус на ъгъла между тях.

Фиг. 6. Геометрично представяне на тъждествата за синус и косинус от разлика на ъгли
$\sin(\alpha -\beta )$ и $\cos(\alpha -\beta )$

Формулите за синус и косинус от сума и разлика на ъгли са представени геометрично съответно на фиг. 5 и фиг. 6. Тези тъждества са обобщени в първите два реда на следващата таблица, която включва и тъждества за сума и разлика за останалите тригонометрични функции.

Тригонометрични функции от сума и разлика на два ъгъла

№	Функция	Формула					Допустими стойности на аргумента
2.1	Синус	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	$\forall \alpha ,\beta$
2.2	Косинус	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	Тангенс	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$	$\alpha$, $\beta$, $\alpha \pm \beta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
2.4	Котангенс	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$	$\alpha$, $\beta$, $\alpha \pm \beta \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
2.5	Секанс	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$	$\alpha$, $\beta$, $\alpha \pm \beta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
2.6	Косеканс	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$	$\alpha$, $\beta$, $\alpha \pm \beta \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

Доказателства на формулите за синус и косинус от сбор на два ъгъла

Както е показано на фиг. 7, отсечката $DG$ е построена перпендикулярно на $AB$, а отсечката $CE$ е построена успоредно на $AB$ и са означени ъглите $BAC=x\;$ и $\;CAD=y$.

Фиг. 7. Геометрично доказателство на формулите за синус и косинус от сбор на два ъгъла

От това следва равенство на ъглите $GDC=BAC=x$ (като кръстни ъгли) и
$ECA=BAC=x$ (като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене),
както и равенство на страните ${\overline {EG}}$ = ${\overline {BC}}$ (от успоредника $EGBC$). Тогава

${\begin{aligned}\sin(x+y)&={\frac {\overline {DG}}{\overline {AD}}}={\frac {{\overline {EG}}+{\overline {DE}}}{\overline {AD}}}={\frac {{\overline {BC}}+{\overline {DE}}}{\overline {AD}}}=\\&={\frac {\overline {BC}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {AD}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AC}}}+{\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {CD}}}=\\&={\frac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {DE}}{\overline {CD}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {AD}}}=\\&=\sin x\cos y+\cos x\sin y.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos(x+y)&={\frac {\overline {AG}}{\overline {AD}}}={\frac {{\overline {AB}}-{\overline {GB}}}{\overline {AD}}}={\frac {{\overline {AB}}-{\overline {EC}}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AD}}}-{\frac {\overline {EC}}{\overline {AD}}}\\&={\frac {\overline {AB}}{\overline {AD}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AC}}}-{\frac {\overline {EC}}{\overline {AD}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {CD}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}-{\frac {\overline {EC}}{\overline {CD}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {AD}}}\\&=\cos x\cos y-\sin x\sin y.\end{aligned}}$

Функции от сума на три ъгъла

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
2.7	$\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,$	$\forall \alpha$, $\beta$, $\gamma$
2.8	$\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .$	$\forall \alpha$, $\beta$, $\gamma$
2.9	$\operatorname {tg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }}$	$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha +\beta +\gamma \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
2.10	$\operatorname {cotg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {cotg} \alpha \operatorname {cotg} \beta \operatorname {cotg} \gamma -\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {cotg} \beta -\operatorname {cotg} \gamma }{\operatorname {cotg} \alpha \operatorname {cotg} \beta +\operatorname {cotg} \alpha \operatorname {cotg} \gamma +\operatorname {cotg} \beta \operatorname {cotg} \gamma -1}}$	$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha +\beta +\gamma \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

Функции от суми на много ъгли

Синус и косинус от безкрайни суми

Когато редицата $\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ схожда абсолютно, тогава ${\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{нечетно}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{четно}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}$

Тъй като редицата $\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ схожда абсолютно, е необходимо да е валидно $\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,\quad \textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0\quad$ и $\quad \textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.$ В частност, в тези две тъждества се появява асиметрия, която не се наблюдава в случая на суми от краен брой ъгли: във всяко произведение има само краен брой синусови множители, но има и краен брой косинусови множители. Членовете с безкрайно много синусови множители непременно биха били равни на нула.

Когато само краен брой от ъглите $\theta _{i}$ са различни от нула, тогава само краен брой от членовете от дясната страна са различни от нула, защото всички синусови множители, с изключение на крайния брой, изчезват. Освен това, във всеки член всички косинусови множители, с изключение на крайния брой, са единица.

Тангенс и котангенс от суми на ъгли

Нека $e_{k}$ (за $k=0,1,2,3,\ldots$) е елементарен симетричен многочлен от k-та степен на променливите $x_{i}=\tan \theta _{i}$ за $i=0,1,2,3,\ldots ,$ това е

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$

Тогава

$$\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.$$ Това може да се покаже с помощта на формулите за синус и косинус от сума на ъгли по-горе: $${\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{нечетно}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{четно}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$

Броят на членовете от дясната страна зависи от броя на членовете от лявата страна.

Например: $${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$$ и така нататък. Случаят само с краен брой членове може да се докаже чрез математическа индукция. Случаят с безкрайно много членове може да се докаже с помощта на някои елементарни неравенства.

Секанс и косеканс от суми на ъгли

$${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$ където $e_{k}$ е k-тата степен на елементарен симетричен многочлен на $n$ променливи $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$ а броят на членовете в знаменателя и броят на множителите в произведението в числителя зависят от броя на членовете в сумата отляво. Случаят на само краен брой членове може да бъде доказан чрез математическа индукция по броя на тези членове.

Например,

$\sec(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }};\qquad \qquad \qquad \qquad$(2.15)

$\csc(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\qquad \qquad \qquad \qquad \,\,$ (2.16)

Теорема на Птолемей

Теоремата на Птолемей е важна в историята на тригонометричните тъждества, тъй като чрез нея за първи път са доказани резултати, еквивалентни на формулите за синус и косинус от сума и разлика на ъгли.

Фиг. 8. Връзка между теоремата на Птолемей и тригонометричното тъждество за синус от сумата на ъглите. Когато дължините на страните на четириъгълника се изразят чрез стойностите на sin и cos, това води до тригонометричното тъждество за синус от сумата на ъглите: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Тя гласи, че в цикличен четириъгълник сумата от произведенията на дължините на противоположните страни е равна на произведението на дължините на диагоналите. В специалните случаи, когато един от диагоналите или страните е диаметър на окръжността, тази теорема води директно до тригонометричните тъждества за сума и разлика на ъглите. Връзката следва най-лесно, когато окръжността е конструирана с диаметър с дължина едно, както е показано за четириъгълник $ABCD$ на фиг. 8.

По теоремата на Талес и двата ъгъла $\angle DAB$ и $\angle DCB$ са прави. Правоъгълните триъгълници $DAB$ и $DCB$ споделят хипотенузата ${\overline {BD}}$ с дължина 1. Следователно, страната ${\overline {AB}}=\sin \alpha$, ${\overline {AD}}=\cos \alpha$, ${\overline {BC}}=\sin \beta$ и ${\overline {CD}}=\cos \beta$.

Съгласно теоремата за вписания ъгъл, централният ъгъл, ограничаващ хордата ${\overline {AC}}$, е два пъти по-голям от ъгъла $\angle ADC$, т.е. $2(\alpha +\beta )$. Следователно, симетричната двойка червени триъгълници има ъгъл $\alpha +\beta$ в центъра. Всеки от тези триъгълници има хипотенуза с дължина ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, така че дължината на ${\overline {AC}}$ е ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$, т.е. просто $\sin(\alpha +\beta )$. Другият диагонал на четириъгълника е диаметърът с дължина 1, така че произведението на дължините на диагоналите също е $\sin(\alpha +\beta )$.

Когато тези стойности се заместят в твърдението на теоремата на Птолемей, че $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$, това води до тригонометричното тъждество за синус от на сумата на ъглите: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$. Формулата за разлика на ъглите за $\sin(\alpha -\beta )$ може да се изведе по подобен начин, като страната ${\overline {CD}}$ служи като диаметър вместо ${\overline {BD}}$.

Тригонометрични функции от кратни ъгли

Формулите за тригонометрични функции от кратни ъгли следват от формулите за функции от сума на равни ъгли.

Функции от двоен ъгъл

Геометричното извеждане на формулите е илюстрирано на фиг. 9 за ъгли α и β между 0° и 90°.

Фиг. 9. Геометрична илюстрация с правоъгълни триъгълници на формули за тригонометрични функции от двоен ъгъл.

Изчисляването на площите на двата сиви триъгълника дава
1/2 ⋅ 2 sin α ⋅ 2 cos α =
=1/2 ⋅ 2 ⋅ sin (2α).
Това предполага $2\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sin(2\alpha )$.

Фиг. 10. Визуална демонстрация на формулата за синус от двоен ъгъл $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Формулата може да се докаже и с равнобедрен триъгълник, както е показано на фиг. 10. За този равнобедрен триъгълник с единични страни и ъгъл $2\theta$, площта 12 × основа × височина се изчислява в две ориентации. Когато триъгълникът е изправен, площта е $\sin \theta \cos \theta$. Когато е настрани, същата площ е 1/2 sin 2θ. Следователно, $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Тригонометрични функции от двоен ъгъл

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
3.1.1 3.1.2	$\sin 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }$ $\sin 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	$\forall \alpha$
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4	$\cos 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\cos 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1$ $\cos 2\alpha =1-2{\sin ^{2}\alpha }$ $\cos 2\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	$\forall \alpha$
3.3.1 3.3.2	$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ $\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {cotg} \alpha }{1-\operatorname {cotg} ^{2}\alpha }}$ $\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2}{\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }}$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
3.4.1 3.4.2	$\operatorname {cotg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {cotg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {cotg} \alpha }}$ $\operatorname {cotg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }{2}}$	$\alpha \not ={\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$
3.5.1 3.5.2	$\sec 2\alpha ={\frac {\sec ^{2}\alpha }{2-\sec ^{2}\alpha }}$ $\sec 2\alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
3.6.1 3.6.2 3.6.3	$\operatorname {cosec} 2\alpha ={\frac {\sec \alpha \operatorname {cosec} \alpha }{2}}$ $\operatorname {cosec} 2\alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{2\operatorname {tg} \alpha }}$ $\operatorname {cosec} 2\alpha ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {cotg} \alpha }{2}}=\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {cotg} 2\alpha$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

Формула (3.6.3) е известна като формула на Айзенщайн. Доказана е геометрично на фиг. 11.

Фиг. 11. Геометрично доказателство на формулата на Айзенщайн (3.6.3).

Функции от троен ъгъл

Тригонометричните функции от тройни ъгли могат да се преобразуват в разлика или произведение на функции от единични ъгли със следващите формули.

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
3.7.1 3.7.2	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$ $\sin 3\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$	$\forall \alpha$
3.8.1 3.8.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$ $\cos 3\alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$	$\forall \alpha$
3.9.1 3.9.2	$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ $\operatorname {tg} 3\alpha =\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z}$
3.10.1 3.10.2	$\operatorname {cotg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {cotg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {cotg} ^{2}\alpha }}$ $\operatorname {cotg} 3\alpha =\operatorname {cotg} \alpha \operatorname {cotg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {cotg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)$	$\alpha \not ={\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z}$
3.11	$\sec 3\alpha ={\frac {\sec ^{3}\alpha }{4-3\sec ^{2}\alpha }}$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{6}},\quad n\in \mathbb {Z}$
3.12	$\operatorname {cosec} 3\alpha ={\frac {\operatorname {cosec} ^{3}\alpha }{3\operatorname {cosec} ^{2}\alpha -4}}$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{3}},\quad n\in \mathbb {Z}$

Фактът, че формулите (3.7.1) и (3.8.1) за синус и косинус от троен ъгъл включват степени само на една функция, позволява да се свърже геометричната задача за трисекция на ъгъл с линийка и пергел с алгебричната задача за решаване на кубично уравнение, което позволява да се докаже, че трисекцията е като цяло невъзможна с помощта на дадените инструменти.

Функции от четворен ъгъл

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
3.13	$\sin \,4\alpha =4\sin \alpha \cos \alpha -8\sin ^{3}\alpha \cos \alpha =8\sin \alpha \cos ^{3}\alpha -4\sin \alpha \cos \alpha$	$\forall \alpha$
3.14	$\cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1=8\sin ^{4}\alpha -8\sin ^{2}\alpha +1,$	$\forall \alpha$
3.15	$\operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
3.16	$\operatorname {cotg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {cotg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {cotg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {cotg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {cotg} \,\alpha }},$	$\alpha \not ={\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z}$

Функции от петорен и шесторен ъгъл

$${\begin{aligned}\sin 5\alpha &=5\sin \alpha -20\sin ^{3}\alpha +16\sin ^{5}\alpha =\\&=\;\sin \alpha \left(16\cos ^{4}\alpha -12\cos ^{2}\alpha +1\right)\\\end{aligned}}$$

$\cos 5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha \,$

$\cos 6\alpha =32\cos ^{6}\alpha -48\cos ^{4}\alpha +18\cos ^{2}\alpha -1\,$

Общ случай

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
3.17	$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\alpha \,\sin ^{n-k}\alpha \,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}$	$\forall \alpha$
3.18	$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha$	$\forall \alpha$
3.19	$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\alpha \,\sin ^{n-k}\alpha \,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}$	$\forall \alpha$
3.20	$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha$	$\forall \alpha$
3.21	$\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}}$	$\alpha \not ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z}$ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi m,\quad m\in \mathbb {Z}$
3.22	$\mathrm {cotg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {cotg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {cotg} ^{n-2k-1}\alpha }}}$	$\alpha \not ={\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z}$

Формулите (3.17) и (3.19) са дадени през XVI век от френския математик Франсоа Виет.

За общия случай на $n$-кратни ъгли могат да се използват и следните формули:

$${\begin{aligned}\sin(n\alpha )&=\sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\alpha \sin ^{k}\alpha =\sin \alpha \sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\alpha \\&=(\sin \alpha )\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\bigl (}2\cos \alpha {\bigr )}^{n-2k-1}{n-k-1 \choose k}\\&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+\alpha \right)\\\cos(n\alpha )&=\sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\alpha \sin ^{k}\alpha =\sum _{i=0}^{\frac {n}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\alpha \\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{(2\cos \alpha )}^{n-2k}{n-k \choose k}{\frac {n}{2n-2k}}\\\cos {\bigl [}(2n+1)\alpha {\bigr ]}&=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}-\alpha \right)\\\cos(2n\alpha )&=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos \left[{\frac {(2k+1)\pi }{4n}}-\alpha \right]\\\operatorname {tg} (n\alpha )&={\frac {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\operatorname {tg} ^{k}\alpha }{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\operatorname {tg} ^{k}\alpha }}\\\mathbb {O} ^{+}&={\text{Положителни нечетни цели числа}}\\\mathbb {E} _{0}^{+}&={\text{Неотрицателни четни цели числа}}\\\end{aligned}}$$

$\qquad \qquad {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=\mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{n}^{k}$ е броят на комбинациите от $n$ елемента $k$-ти клас.

Метод на Чебишев

Методът на Чебишев е рекурсивен алгоритъм за намиране на формула за $n$-тия кратен ъгъл, знаейки $(n-1)$-та и $(n-2)$-та стойности. Може да се изчисли от $\cos[(n-1)\alpha ]$, $\cos[(n-2)\alpha ]$ и $\cos \alpha$ с формулата

$$\cos(n\alpha )=2\cos \alpha \cos {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}-\cos {\bigl [}(n-2)\alpha {\bigr ]}.$$

Това може да се докаже чрез сумиране на формулите

$${\begin{aligned}\cos {\bigl [}(n-1)\alpha +\alpha {\bigr ]}&=\cos {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}\cos \alpha -\sin {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}\sin \alpha \\\cos {\bigl [}(n-1)\alpha -\alpha {\bigr ]}&=\cos {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}\cos \alpha +\sin {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}\sin \alpha \end{aligned}}$$

По индукция следва, че $\cos(n\alpha )$ е полином от $\cos \alpha ,$ т. нар. полином на Чебишев от първи род (вижте Полиноми на Чебишев – Тригонометрично определение).

Аналогично $\sin(n\alpha )$ може да се изчисли от $\sin[(n-1)\alpha ],$ $\sin[(n-2)\alpha ]$ и $\cos \alpha$ с формулата

$$\sin(n\alpha )=2\cos \alpha \sin {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}-\sin {\bigl [}(n-2)\alpha {\bigr ]}$$

Това може да се докаже чрез добавяне на формули за $\sin[(n-1)\alpha +\alpha ]$ и $\sin[(n-1)\alpha -\alpha ].$

Полином на Чебишев от n-та степен Tn	$\cos(n\alpha )=T_{n}(\cos \alpha )$
Формула на Моавър	$\cos(n\alpha )+i\sin(n\alpha )=(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{n}$ ($i$ e имагинерна единица)

По подобен начин на метода на Чебишев, за тангенса можем да се запише:

$$\operatorname {tg} (n\alpha )={\frac {\operatorname {tg} {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}+\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} {\bigl [}(n-1)\alpha {\bigr ]}\operatorname {tg} \alpha }}\,.$$

Тригонометрични функции от половин ъгъл

Формулите за функции от половин ъгъл се извеждат от формулите (3.2.1)÷(3.2.4) за косинус от двоен ъгъл.

Тригонометрични функции от половин ъгъл

№	Формули	Допустими стойности на аргумента
4.1	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$	$\alpha \in \left[0,2\pi \right]$
4.2	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$	$\alpha \in \left[-\pi ,\pi \right]$
4.3.1	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$ $\qquad ={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}{\operatorname {tg} \alpha }}=\operatorname {cosec} \alpha -\operatorname {cotg} \alpha$	$\alpha \in \mathbb {R} \setminus \pi (2\mathbb {Z} +1)$
4.3.2	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\frac {\operatorname {tg} \alpha }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}}$	$\alpha \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
4.4.1	$\operatorname {cotg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }$ $\qquad ={\frac {\operatorname {cotg} \alpha }{\operatorname {cotg^{2}} \alpha -1\pm {\sqrt {\operatorname {cotg^{2}} \alpha +1}}}}=\operatorname {cosec} \alpha +\operatorname {cotg} \alpha$	$\alpha \in \mathbb {R} \setminus 2\pi \mathbb {Z}$
4.4.2	$\operatorname {cotg} {\alpha \over 2}=\operatorname {cotg} \alpha +{\sqrt {1+\operatorname {cotg} ^{2}\alpha }}$	$\alpha \in \left(0,\pi \right)$
4.5	$\sec {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {2}{1+\cos \alpha }}}$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+2\pi n$
4.6	$\operatorname {cosec} {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {2}{1-\cos \alpha }}}$	$\alpha \neq 2\pi n$

1. Във формулите за функции от половин ъгъл знаците пред радикалите трябва да се вземат в зависимост от знака на тригонометричната функция в лявата страна на равенството.

2. Във формулите за $\operatorname {tg} {\alpha \over 2}$ и $\operatorname {cotg} {\alpha \over 2}$ лявата и дясната част имат различни области на дефиниране и следователно небрежното им използване може да доведе до придобиване на корени!

Фиг. 12. Геометрично доказателство на формулите за тангенс от половин ъгъл.

Геометрично извеждане на формулата за тангенс (4.3.1) е илюстрирано на фиг. 12 за ъгли α и β между 0° и 90°. От изчисляването на площите на двата сиви триъгълника следва директно, че $\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}$.

Към тази група могат да се добавят и формулите:

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$ $\qquad \qquad \qquad$ (4.7)

$\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\operatorname {tg} \alpha +\sec \alpha$ $\qquad \qquad \quad \,\,$ (4.8)

${\sqrt {\frac {1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha }}}={\frac {\left|1-\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\right|}{\left|1+\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\right|}}$ $\qquad \qquad \qquad$ (4.9)

Относно тъждества за третина от ъгъл

Съществува формула за изчисляване на тригонометричните тъждества за една трета от ъгъл $\alpha$, но тя изисква намиране на корените на кубичното уравнение $4x^{3}-3x+d=0$, където неизвестното $x=\cos {\frac {\alpha }{3}}$, а $d=\cos \alpha$ е известната стойност. Дискриминантата на това уравнение обаче е положителна, така че то има три реални корена (от които само един е решението за $x=\cos {\tfrac {\alpha }{3}}$). Нито едно от тези решения не е сводимо към реален алгебричен израз, тъй като използва междинни комплексни числа под кубичните корени.

Универсално тригонометрично заместване

Всяка тригонометрична функция може да бъде изразена чрез тангенса или котангенса от половината ъгъл:

Универсално тригонометрично заместване

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{cotg}}{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{cotg}}^{2}\,{\frac {\alpha }{2}}+1}}$	$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{cotg}}^{2}\,{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{cotg}}^{2}\,{\frac {\alpha }{2}}+1}}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{cotg}}{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{cotg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\operatorname {cotg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{cotg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{cotg}}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{cotg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{cotg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{cotg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{2~{\text{cotg}}{\frac {\alpha }{2}}}}$

Горните тъждества имат смисъл само ако тангенсът или котангенсът имат смисъл, т.е. съответно за $\alpha \neq 90^{\circ }+n.180^{\circ }$ и $\alpha \neq n.180^{\circ }$. Следователно, когато се използва универсалното тригонометрично заместване, тези стойности трябва да бъдат проверени отделно чрез заместването им в оригиналното уравнение.

Формули за намаляване на степента

Формулите за намаляване на степента са получени от формули (3.2.1) – (3.2.3):

№	Синус		№	Косинус
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$		5.6	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$		5.7	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$		5.8	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$		5.9	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$
5.5	$\sin ^{6}\alpha ={\frac {10-15\cos 2\alpha +6\cos 4\alpha -\cos 6\alpha }{32}}$		5.10	$\cos ^{6}\alpha ={\frac {10+15\cos 2\alpha +6\cos 4\alpha +\cos 6\alpha }{32}}$

№	Произведение
5.11	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
5.12	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
5.13	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
5.14	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Фиг. 13. Формула за намаляване на степента на синус – илюстративна диаграма. Синият и зеленият триъгълници, както и очертаният в червено триъгълник $EBD$ са правоъгълни и подобни, и всички съдържат ъгъла $\theta$. Хипотенузата ${\overline {BD}}$ на триъгълник $BED$ е с дължина $2\sin \theta$, следователно неговата страна ${\overline {ED}}$ има дължина $2\sin ^{2}\theta$. Отсечката ${\overline {AE}}$ има дължина $\cos 2\theta$ и сборът от дължините на ${\overline {AE}}$ и ${\overline {ED}}$ е равен на дължината на ${\overline {AD}}$, която е 1. Следователно, $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$. Изваждането на $\cos 2\theta$ от двете страни на равенството и делението им на 2 дава формулата за намаляване на степента на синуса: $\sin ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$. Формулата за синус от половин ъгъл може да се получи чрез заместване на $\theta$ с $\theta /2$ и вземане на корен квадратен от двете страни: ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ Обърнете внимание, че тази фигура също така илюстрира във вертикалната отсечка ${\overline {EB}}$, че $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$.

Фиг. 14. Формула за намаляване на степента на косинус – илюстративна диаграма. Червеният, оранжевият и синият триъгълник са подобни, а червеният и оранжевият триъгълник са еднакви. Хипотенузата ${\overline {AD}}$ на синия триъгълник е с дължина $2\cos \theta$. Ъгълът $\angle DAE$ е $\theta$, така че основата ${\overline {AE}}$ на този триъгълник има дължина $2\cos ^{2}\theta$. Тази дължина е равна и на сумираните дължини на ${\overline {BD}}$ и ${\overline {AF}}$, т.е. $1+\cos 2\theta$. Следователно, $2\cos ^{2}\theta =1+\cos 2\theta$. Делението на двете страни на $2$ дава формулата за намаляване на степента на косинуса:
$\cos ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos 2\theta )}$. Формулата за косинус от половин ъъгъл за може да се получи чрез заместване на $\theta$ с $\theta /2$ и вземане на корен квадратен от двете страни: ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

В общите случаи формулите за всяка степен $n$ на $\sin \theta$ и $\cos \theta$ могат да се изведат с помощта на формулата на Моавър, формулата на Ойлер и биномната теорема и се получават в следния вид:

Ако n е  ...	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n е нечетно	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n е четно	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Формули за преобразуване на произведение на функции

Фиг. 15. Геометрично доказателство на тъждеството за произведението на косинуси с използване на равнобедрен триъгълник

Тъждествата за преобразуване на произведение в сума или формулите за простафереза ​​могат да бъдат доказани използвайки тъждествата за събиране на ъгли чрез разширяване на десните им страни. В исторически план първите четири от тях са били известни като формули на Вернер, на името на Йоханес Вернер, който ги е използвал за астрономически изчисления. За приложение на формулите за преобразуване на произведение в сума вижте амплитудна модулация, а за приложение на формулите за преобразуване на сума в произведение – биене (физика) и фазов детектор.

Формулите за преобразуване на произведението на тригонометрични функции сe извеждат от формулите за функции от сума и разлика на два ъгъла (2.1) и (2.2).

№	Синус и косинус		№	Тангенс и котангенс
6.1	$\sin \alpha \,\sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$		6.5 6.6	$\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {cotg} \alpha +\operatorname {cotg} \beta }}={\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {cotg} \beta -\operatorname {cotg} \alpha }}$ $\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}}$
6.2	$\cos \alpha \,\cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$		6.7	$\operatorname {cotg} \alpha \,\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\operatorname {cotg} \alpha +\operatorname {cotg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}={\frac {\operatorname {cotg} \alpha -\operatorname {cotg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}$
6.3	$\sin \alpha \,\cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$		6.8	$\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {cotg} \beta }{\operatorname {cotg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}={\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {cotg} \beta }{\operatorname {cotg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}$
6.4	$\cos \alpha \,\sin \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$		6.9	$\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}}$

Подобни са формулите за произведенията на синусите и косинусите на три ъгъла:

№	Формула
6.10	$\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
6.11	$\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
6.12	$\sin \alpha \,\cos \beta \,\cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
6.13	$\cos \alpha \,\cos \beta \,\cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.$

В общия случай за произведение на произволен брой синуси или косинуси $${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \alpha _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\alpha _{1}+\cdots +e_{n}\alpha _{n}),\\[5mu]&{\text{където}}\quad e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n};\end{aligned}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$$ (6.14)

$${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\sin \alpha _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\alpha _{1}+\cdots +e_{n}\alpha _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\quad {\text{ако}}\;n\;{\text{е нечетно}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\alpha _{1}+\cdots +e_{n}\alpha _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\quad {\text{ако}}\;n\;{\text{е четно}}.\end{cases}}\end{aligned}}\qquad \qquad$$ (6.15)

Безкрайно произведение на Ойлер

$\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$ (6.16)

Котангенсно тъждество на Ермит

Шарл Ермит доказва следното тъждество. Да предположим, че $a_{1},\ldots ,a_{n}$ са комплексни числа, нито две от които не се различават с цяло число, кратно на $\pi$. Нека

$$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\operatorname {cotg} (a_{k}-a_{j})$$

(в частност, празното произведение $A_{1,1}=1$.) Тогава

$$\operatorname {cotg} (z-a_{1})\cdots \operatorname {cotg} (z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\operatorname {cotg} (z-a_{k})\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$$ (6.17)

Най-простият нетривиален пример е случаят n=2: $$\operatorname {cotg} (z-a_{1})\operatorname {cotg} (z-a_{2})=-1+\operatorname {cotg} (a_{1}-a_{2})\operatorname {cotg} (z-a_{1})+\operatorname {cotg} (a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).\qquad$$ (6.18)

Крайни произведения на тригонометрични функции

За взаимно прости цели числа $n$ и $m$

$\prod _{k=1}^{n}\left[2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right]=2\left[T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right]\qquad \qquad \qquad \quad$ (6.19)

където $T_{n}$ е полином на Чебишев.

За синусовото произведение е валидна следната зависимост:

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (6.20)

По-общо казано, за цяло число n > 0

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}-x\right),\,\qquad \qquad \qquad \qquad$ (6.21)

или записано чрез функцията на хордата $\operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x$,

$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {2k\pi }{n}}-x\right).$

Това произлиза от факторизация на многочлени $z^{n}-1$ на линейни множители (вж. Корен от единица) – за всяко комплексно z и цяло число $n>0$:

$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\frac {2ki\pi }{n}}\right).$

Формули за преобразуване на суми и разлики на функции

Фиг. 16. Геометрична илюстрация на тъждествата за преобразуване на сума от синуси и косинуси в произведение. Синият правоъгълен триъгълник има ъгъл $\theta$, червеният правоъгълен триъгълник има ъгъл $\varphi$, а и двата имат хипотенуза с дължина 1. Спомагателните ъгли $p$ и $q$ са конструирани така, че $p={\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )$ и $q={\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )$. Следователно, $\theta =p+q$ и $\varphi =p-q$. Това позволява да бъдат построени двата еднакви триъгълника с лилав контур $AFG$ и $FCE$, всеки с хипотенуза $\cos q$ и ъгъл $p$ при основата си. Сумата от височините на червения и синия триъгълник $HB+DC$ е $\sin \theta +\sin \varphi$ и това е равно на два пъти височината на един лилав триъгълник, т.e. $2\sin p\cos q$. Записването на $p$ и $q$ в това уравнение чрез $\theta$ и $\varphi$ води до тъждество за преобразуване на сума от синуси в произведение: $\sin \theta +\sin \varphi =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )$. По подобен начин сумата от ширините на червените и сините триъгълници дава съответното тъждество за косинуси.

№	Синус и косинус
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

№	Тангенс и котангенс
7.4	$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
7.5	$\operatorname {cotg} \alpha \pm \operatorname {cotg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$
7.6	$\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}$
7.7	$\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {cotg} \beta ={\frac {-\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}$
7.8	$\operatorname {cotg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}$

Фиг. 17. Геометрично представяне на тъждеството за сума от тангенси на ъгли $\tan \alpha +\tan \beta$

Извод на формулите за преобразуване на сума от функции

За извеждане на формули (7.1) — (7.3) полагаме $\alpha =\phi +\psi$, $\beta =\phi -\psi$. Тогава $\phi ={\frac {\alpha +\beta }{2}}$ и $\psi ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$. Заместваме тези изрази в изходните и ги преобразуваме по формулите за суми:

$\sin \alpha +\sin \beta =\sin(\phi +\psi )+\sin(\phi -\psi )=2\sin \phi \cos \psi =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$;

$\sin \alpha -\sin \beta =\sin(\phi +\psi )-\sin(\phi -\psi )=2\sin \psi \cos \phi =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}$;

$\cos \alpha +\cos \beta =\cos(\phi +\psi )+\cos(\phi -\psi )=2\cos \phi \cos \psi =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$;

$\cos \alpha -\cos \beta =\cos(\phi +\psi )-\cos(\phi -\psi )=-2\sin \phi \sin \psi =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$.

Формулите (7.4) — (7.8) се доказват с формални преобразования: $\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$; $\operatorname {cotg} \alpha \pm \operatorname {cotg} \beta ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}={\frac {\sin \beta \cos \alpha \pm \sin \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$; $\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}+{\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \sin \beta }}=$

$={\frac {{\frac {\cos(\alpha -\beta )}{2}}-{\frac {\cos(\alpha +\beta )}{2}}+{\frac {\cos(\alpha -\beta )}{2}}+{\frac {\cos(\alpha +\beta )}{2}}}{\cos \alpha \sin \beta }}={\frac {\cos(\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}$;

$\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {cotg} \beta ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}-{\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \sin \beta }}=$

$={\frac {{\frac {\cos(\alpha -\beta )}{2}}-{\frac {\cos(\alpha +\beta )}{2}}-{\frac {\cos(\alpha -\beta )}{2}}-{\frac {\cos(\alpha +\beta )}{2}}}{\cos \alpha \sin \beta }}={\frac {-\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }};$

$\operatorname {cotg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}={\frac {\cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta }}={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}$.

Валидни са също следващите частни случаи за преход от сума към произведение и следствия от тях:

№	Формула	Допустими стойности на аргумента
7.9.1	$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -\sin(\alpha +\beta +\gamma )=4\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}$	$\forall \alpha$, $\beta$, $\gamma$
7.9.2	$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$	$\alpha +\beta +\gamma =\pi$
7.9.3	$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$	$\alpha +\beta +\gamma =2\pi$
7.10.1	$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +\cos(\alpha +\beta +\gamma )=4\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}$	$\forall \alpha$, $\beta$, $\gamma$
7.10.2	$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$	$\alpha +\beta +\gamma =\pi$
7.10.3	$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =-4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$	$\alpha +\beta +\gamma =2\pi$

Разлики от квадрати на функции на различни ъгъли

$\sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\alpha -\beta )$

$\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta -\alpha )$

$\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\cos(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )$

Тригонометрични тъждества на Лагранж

Тези равенства са кръстени на френския математик Жозеф-Луи Лагранж:

$$\sum _{k=0}^{n}\sin k\alpha ={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha -\cos \left[\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha \right]}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$$ (7.11)

$$\sum _{k=1}^{n}\cos k\alpha ={\frac {-\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha +\sin \left[\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha \right]}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$ (7.12)

за $\alpha \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$

Свързана функция е ядрото на Дирихле:

$$D_{n}(\alpha )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\alpha ={\frac {\sin \left[\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha \right]}{\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$ (7.13)

Подобно тъждество е

$$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$ (7.14)

Доказателството е следното. Използва се тъждеството (2.1) за синус от сума и разлика на ъглите $$\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$$

Разглежда се формулата

$$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\cdots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$$

и се записва като се използва горното тъждество:

$${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\\&\quad =\sum _{k=1}^{n}{\big [}\sin(2k\alpha )-\sin {\big (}2(k-1)\alpha {\big )}{\big ]}=\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\cdots +{\big [}\sin(2n\alpha )-\sin {\big (}2(n-1)\alpha {\big )}{\big ]}=\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$$

С разделянето на тази формула на $2\sin \alpha$ завършва доказателството.

Изчисляване на частични суми на тригонометрични редове с постоянни коефициенти

Сумите $C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )$ и $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )$ за $\theta \neq 0\mod 2\pi$ се преобразуват в следните затворени изрази:

$C_{n}={\frac {\sin \left[(n+1){\frac {\theta }{2}}\right]}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\qquad S_{n}={\frac {\sin \left[(n+1){\frac {\theta }{2}}\right]}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)$.

Тези формули се доказват, като се отбележи че $C_{n}+iS_{n}={\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }\sum _{k=0}^{n}({\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })^{k}$ и използвайки суми от геометрични прогресии или чрез умножение по $\sin {\frac {\theta }{2}}$.

Следователно, частното им ${\frac {S_{n}}{C_{n}}}=\operatorname {tg} \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)$.

За $\theta =0\mod 2\pi$: $\qquad C_{n}=(n+1)\cos \varphi ,\qquad S_{n}=(n+1)\sin \varphi$.

Чрез формулите може да се изрази ядрото на Дирихле $D_{n}$, функция, дефинирана за всички реални числа $x$:

$D_{n}(x)=1+2\cos x+2\cos 2x+2\cos 3x+\cdots +2\cos nx={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right]}{\sin {\frac {x}{2}}}}.$

Конволюционното произведение на всяка квадратно интегрируема функция с период 2π и ядрото на Дирихле съвпада със сумата от $n$-ти ред на нейния ред на Фурие.

Формули за случая α + β + γ = 180°

Следващите формули се прилагат за произволни плоски триъгълници, като се отчита сумата от вътрешните ъгли $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$.

${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}&=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta &=1\\\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}&=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +2\\-\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +1\\-\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}+1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+2\\-\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

Линейни комбинации

За някои цели е важно да се знае, че всяка линейна комбинация (суперпозиция) от синусоиди с еднакъв период или честота, но с различни фазови отмествания, също е синусоида със същия период или честота, но с различно фазово отместване. Това е полезно при наслагване на синусоидални величини, тъй като измерените или наблюдаваните величини са линейно свързани с неизвестните $a$ и $b$ на синфазната и квадратурната компоненти по-долу, което води до по-опростена матрица на Якоби в сравнение с тази на $c$ и $\varphi$.

Синус и косинус

От линейната комбинация или хармоничното събиране на синусоидални и косинусоидални вълни се получава единична хармонична вълна

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

с мащабирана амплитуда $c=\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
и фазово изместване $\varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)$,
като се има предвид, че $a\neq 0.$

Забележка. От горните равенства за $b\neq 0$ следва, че $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\frac {b}{a}}$, но не винаги може да се приеме, че $\varphi ={\text{arctg}}~{\frac {b}{a}}$, тъй като аркустангенсът определя ъгъл от $-\pi /2$ до $\pi /2$, а ъгълът, общо казано, може да бъде всеки. Знаците на $a$ и $b$ трябва да се вземат предвид, за да се определи към кой квадрант принадлежи ъгълът $\varphi$ и след това да се добави или извади $\pi$, ако е необходимо.

Фиг. 18. Събиране на синусоиди с произволно фазово изместване, илюстрирано с въртящи се вектори.

Произволно фазово изместване

В общия случай за произволни фазови измествания имаме

$$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$$

където $c$ и $\varphi$ удовлетворяват равенствата:

$${\begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\&\operatorname {tg} \varphi ={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$$

Събирането на хармоничните вълни, изразени чрез синусоиди и комплексни вектори, е показано на фиг. 18.

Повече от две синусоиди

Най-общият случай за произволен брой вълни гласи

$$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\varphi ),$$

където

$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j}),$

$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

Някои линейни дробни преобразования

Ако $f(x)$ и $g(x)$ са дадени от линейните дробни преобразования

$$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }}\quad$$ и

$$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$$

тогава
$$f{\big [}g(x){\big ]}=g{\big [}f(x){\big ]}={\frac {{\big [}\cos(\alpha +\beta ){\big ]}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big [}\sin(\alpha +\beta ){\big ]}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$$

По-кратко казано, ако за всички $\alpha$ оставим $f_{\alpha }$ да бъде това, което нарекохме $f$ по-горе, тогава $$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$$

Ако $x$ е наклонът на линията, тогава $f(x)$ е наклонът на нейното завъртане на ъгъл $-\alpha .$

Разлагане в безкрайни изрази

Сума от степенен ред

Фиг. 19. Графики на функцията синус (червена) и нейното разложение на многочлен от седма степен в ред на Тейлър (зелена).

Когато се използва разлагане в степенен ред за дефиниране на тригонометрични функции, се получават следните тъждества:

$${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}$$

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\\=x+&{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots ,\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\cot x={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\&\tanh x={1 \over x}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}\\&\coth x={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi ,\end{aligned}}$

където $\beta _{2n}$ и $B_{2n}$ са вариации на числата на Бернули.

Произведение от числова редица

За приложения към специални функции са полезни следните формули за безкрайно произведение на тригонометрични функции:

$${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\sin x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right),\\[10mu]\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right),\\[10mu]\tan x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right),&\cot x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{x+n\pi }}\right),\\[10mu]\sec x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right),&\csc x&=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi }}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Тъждества от числени стойности без променлива

Някои тригонометрични тъждества не съдържат променлива, а тригонометрични функции от аргумент с конкретни числени стойности, изразени в градуси или радиани.

• Произведения от косинуси

Ричард Файнман през целия си живот помнел следното любопитно равенство, което той нарекъл Теорема на Мори:

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}\quad$ или $\quad \cos {\frac {\pi }{9}}+\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}$.

Това тъждество се получава от равенството

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}\;$ при $\;x=20^{\circ }={\frac {\pi }{9}}\;$ и $\;k=3$.

Друго произведение от косинуси е

$\cos 12^{\circ }\cdot \cos 24^{\circ }\cdot \cos 36^{\circ }\cdot \cos 48^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }\cdot \cos 72^{\circ }\cdot \cos 84^{\circ }={\frac {1}{128}}\quad$ или

$\quad \cos {\frac {\pi }{15}}+\cos {\frac {2\pi }{15}}+\cos {\frac {3\pi }{15}}+\cos {\frac {4\pi }{15}}+\cos {\frac {5\pi }{15}}+\cos {\frac {6\pi }{15}}+\cos {\frac {7\pi }{15}}={\frac {1}{128}}$.

То се получава по формулата

$\prod _{m=1}^{n}\cos mx\;$ при $\;x=12^{\circ }={\frac {\pi }{15}}\;$ и $\;n=7$.

• Суми от косинуси

$\cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}+\cos 3{\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{2}}.$

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{15}}+\cos 2{\frac {2\pi }{15}}+\cos 4{\frac {2\pi }{15}}+\cos 7{\frac {2\pi }{15}}={\frac {1}{2}}.$

$\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos 2{\frac {2\pi }{21}}+\cos 4{\frac {2\pi }{21}}+\cos 5{\frac {2\pi }{21}}+\cos 8{\frac {2\pi }{21}}+\cos 10{\frac {2\pi }{21}}={\frac {1}{2}}.$

Множителите 1, 2, 4, 5, 8, 10 са целите числа, по-малки от 21/2, които нямат общ делител с 21.

Тези примери са следствия от резултат върху основата на кръгови многочлени. Косинусите са реалните части на корените на многочлените, а в тези тъждества присъстват само половината от корените. В последния случай по-горе сборът от корените дава стойността на функцията на Мьобиус при аргумент 21. Предходните две тъждества възникват по същия начин съответно за аргумент 10 и 15.

• Тригонометрични тъждества, включващи ъгъла ${\frac {\pi }{7}}$, като например $\cos {\frac {\pi }{7}}-\cos {\frac {2\pi }{7}}+\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}$
• Тригонометрични тъждества, включващи ъгъла $\pi \over 9$, като например $\cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{2}}$.
• Следващото тъждество без променливи може да се използва за ефективно изчисляване на $\pi$:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},$

или използвайки формулата на Ойлер:

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}.$

• Други класически тъждества:
  • $\prod _{k=1}^{n-1}\operatorname {tg} {\frac {k\pi }{2n}}=1\;$, от което извеждаме $\;\operatorname {tg} 1^{\circ }\operatorname {tg} 2^{\circ }...\operatorname {tg} 89^{\circ }=1$.
  • $\sum _{k=1}^{n}\sin ^{2}{k{\frac {\pi }{n}}}={\frac {n}{2}}\;$, от което извеждаме $\sin ^{2}1^{\circ }+\sin ^{2}2^{\circ }+\cdots +\sin ^{2}89^{\circ }=\cos ^{2}1^{\circ }+\cos ^{2}2^{\circ }+\cdots +\cos ^{2}89^{\circ }={\frac {89}{2}}$.
  • $\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}\;$, от което извеждаме $\sin 1^{\circ }\sin 2^{\circ }...\sin 89^{\circ }=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }...\cos 89^{\circ }={\sqrt {\frac {180}{2^{179}}}}.$

Неравенства

Геометричното значение на синуса и тангенса „показва“, а теоремата за средната стойност доказва, че

$\sin x<x<\operatorname {tg} x\qquad \forall x\in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right).$

Това неравенство се използва често; два примера са методът на Архимед за изчисляване на числото π (вижте Квадратура на кръга) и намирането на сумата, изразяваща реда на обратните квадрати (Базелската задача).

• Сравненията на $x$ с $\arcsin x$ и $\operatorname {arctg} x$ показват, че:

$x<\arcsin x<{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad \forall x\in \left(0,1\right),$

${\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}<\operatorname {arctg} x<x\qquad \forall x>0.$

• Неравенството може да се използва чрез диференциране, за да се покаже, че функцията

$x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ (кардинален синус) е строго намаляваща, а $x\mapsto {\frac {\operatorname {tg} x}{x}}$ е строго нарастваща в отворения интервал $\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$, което е еквивалентно на неравенството:

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\operatorname {tg} \beta }}\qquad \forall \alpha >\beta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right),$

понякога наричано неравенство на Аристарх.

Тъждества с обратни тригонометрични функции

Функции от противоположен аргумент

Обратните тригонометрични функции от противоположни аргументи $x$ и $-x$ са свързани с равенствата:

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x$

$\arctan(-x)=-\arctan x$

$\operatorname {arccot}(-x)=-\operatorname {arccot} x$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arcsec} x$

Суми и разлики

Основни тъждества за суми и разлики на два ъгъла като обратни тригонометрични функции

№	Функции	Формула					Допустими стойности на аргумента
8.1	Аркуссинус	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)$	$-1\leq (x,y)\leq 1$
8.2	Аркускосинус	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
8.5	Аркуссинус и Аркускосинус	$\arcsin x\pm \arccos y$			$=$	${\begin{cases}\arcsin \left[xy\pm {\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}\,\right]\\\arccos \left[y{\sqrt {1-x}}\mp x{\sqrt {1-x}}{\sqrt {1-y}}\right]\end{cases}}$
8.3	Аркустангенс	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$	$\forall x,y$
8.4	Аркускотангенс	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$
8.6	Аркустангенс и Аркускотангенс	$\arctan x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	${\begin{cases}\arctan \left({\frac {xy\pm 1}{y\mp x}}\right)\\\operatorname {arccot} \left({\frac {y\mp x}{xy\pm 1}}\right)\end{cases}}$

В частния случай $y={\frac {1}{x}}$ формула (8.4) придобива конкретни числени стойности:

$\arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}\quad$ ако $x>0\,$ и

$\arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}\quad$ ако $x<0$.

От основното тъждество (1.4) следва, че ${\frac {1}{\tan x}}=\cot x$, откъдето се получава

$\arctan {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccot} x$,

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}=\arctan x$.

Така горните равенства за сумите от аркустангенсите могат да се запишат във вида

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}\quad$ ако $x>0\,$ и

$\arctan x+\operatorname {arccot} x=-{\frac {\pi }{2}}\quad$ ако $x<0$.

Аналогично се получават и други връзки между аркусфункциите от рецепрочни аргументи:

$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}$

$\operatorname {arccsc} x=\arcsin {\frac {1}{x}}$

$\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}.$

Тъждества за суми и разлики на обратни тригонометрични функции при всички варианти на стойностите на аргумента

Суми и разлики	Формули за събиране и изваждане	Валидност	№
$\arcsin x+\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\leq 0$ или $x^{2}+y^{2}\leq 1$	8.1.1
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ и $y>0$ и $x^{2}+y^{2}>1$	8.1.2
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ и $y<0$ и $x^{2}+y^{2}>1$	8.1.3
$\arcsin x-\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\geq 0$ или $x^{2}+y^{2}\leq 1$	8.1.4
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ и $y<0$ и $x^{2}+y^{2}>1$	8.1.5
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ и $y>0$ и $x^{2}+y^{2}>1$	8.1.6
$\arccos x+\arccos y=$	$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$	8.2.1
	$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$	8.2.2
$\arccos x-\arccos y=$	$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x\geq y$	8.2.3
	$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x<y$	8.2.4
$\arctan x+\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$xy<1$	8.4.1
	$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x>0$ и $xy>1$	8.4.2
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x<0$ и $xy>1$	8.4.3
$\arctan x-\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$xy>-1$	8.4.4
	$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x>0$ и $xy<-1$	8.4.5
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x<0$ и $xy<-1$	8.4.6

Преобразуване в други тригонометрични функции

Основни формули

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,\,$ (8.7)

$\sin(\arctan x)=\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (8.8)

$\sin(\operatorname {arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (8.9)

$\tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (8.10)

$\tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (8.11)

$\tan(\operatorname {arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac {1}{x}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$ (8.12)

Всички комбинации от основните прави и обратни тригонометрични функции са групирани в следващите таблици.

Тригонометрични функции от аркусфункции

	arcsin	arccos	arctan	arccot
sin		$\sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
cos	$\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$		$\cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
tan	$\tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$		$\tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}$
cot	$\cot \arcsin x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\cot \arccos x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\cot \arctan x={\frac {1}{x}}$

Връзки между обратните тригонометрични функции

	arcsin	arccos	arctan	arccot
arcsin		$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x$	$\arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
arccos	$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$ $\arccos x=\arcsin x+\arcsin(1-x)$		$\arccos x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{за }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$	$\arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
arctan	$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\arctan x={\begin{cases}-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{за }}x<0\\+\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$	$\arctan x={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {1}{x}},{\text{за }}x<0\\\,\,\,\,{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {1}{x}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$	$\arctan x={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x,{\text{за }}x<0\\\;\;\;{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x,{\text{за }}x>0\end{cases}}$ $\arctan x={\begin{cases}\pi +\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{за }}x<0\\\quad \;\;\;\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$
arccot	$\operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{за }}x<0\\\quad \;\;\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$	$\operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\operatorname {arccot} x={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x,{\text{за }}x<0\\\;\;\;{\frac {\pi }{2}}-\arctan x,{\text{за }}x>0\end{cases}}$ $\operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {1}{x}},{\text{за }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {1}{x}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$	$\operatorname {arccot} x={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{за }}x<0\\\,\,\,\,{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{за }}x>0\end{cases}}$

Връзка с комплексната експоненциална функция

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число $x$:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

където $i$ е имагинерната единица. Заместването на $x$ с $-x$ дава

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$

Тези две уравнения могат да се използват за изразяване на косинус и синус чрез експоненциална функция. По-конкретно,

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Тези формули са полезни за доказване на много други тригонометрични тъждества.
Например, e^i(α+β) = e^iα e^iβ означава, че

$${\begin{aligned}&\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\\[10mu]&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta ).\end{aligned}}$$

Равенството на реалните части на лявата и дясната страна на уравнението изразява формула (2.2) за косинус от сума на ъгли. Равенството на имагинерните части дава формула (2.1) за синус от сума на ъгли.

С формулата на Ойлер може да се докаже и формулата на Моавър

${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).$

Следващата таблица изразява тригонометричните функции и техните обратни функции чрез експоненциална функция и комплексен логаритъм.

Функция	Обратна функция
$\sin \alpha ={\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \alpha ={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\operatorname {tg} \alpha =-i\,{\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}$	$\operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\operatorname {cotg} \alpha =i\,{\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}}$	$\operatorname {arccotg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\sec \alpha ={\frac {2}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {2i}{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}}$	$\operatorname {arccosec} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\operatorname {cis} \alpha =e^{i\alpha }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Линеаризация

Линеаризацията на израза $\cos e^{px}\cdot \sin e^{qx}$ има за цел да го изрази като линейна комбинация от различни cos(nx) (ако q е четно) или sin(nx) (ако q е нечетно) — например, за да се изчисли първообразната функция. Може да се използват формулите за преобразуване на произведение в сума по-горе или формулите на Ойлер:

$\cos ^{p}x\sin ^{q}x=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{p}\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}\right)^{q}.$

Извършва се следното:

• разлага се всеки от двата множителя, използвайки биномната теорема;
• разлага се произведението на двете получени суми (чрез дистрибутивност);
• опростяват се членовете, използвайки факта, че $\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}kx}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\ell x}={\rm {e}}^{{\rm {i}}(k+\ell )x}$;
• групират се членовете, знаейки, че e $\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2\cos(nx)\quad {\text{и}}\quad {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2{\rm {i}}\sin(nx).$

Ако единият от двата степенни показателя $p$ или $q$ е нула, другият определя степента на функцията. За произволни четни и нечетни степенни показатели на синуса и косинуса се получават следните резултати от линеаризацията:

${\begin{aligned}\cos ^{2n}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n}=\\&={\frac {1}{2^{2n}}}\left[{{2n} \choose n}+\sum _{k=0}^{n-1}{\left[{{2n} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n-k)}+{{2n} \choose {2n-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right]}\right]=\\&={\frac {1}{4^{n}}}\left[{{2n} \choose n}+2\sum _{k=0}^{n-1}{{{2n} \choose k}\cos \left[2(n-k)x\right]}\right]\\\cos ^{2n+1}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n+1}=\\&={\frac {1}{2^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\left[{{2n+1} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n+1-k)}+{{2n+1} \choose {2n+1-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n+1-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right]}=\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \choose k}\cos \left[(2(n-k)+1)x\right]=\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}{{2n+1} \choose {n-\ell }}\cos \left[(2\ell +1)x\right]\\\bullet ~x\leftarrow &\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)&\\\sin ^{2n}x&={\frac {1}{4^{n}}}\left[{{2n} \choose n}-2\sum _{\ell =0}^{n-1}{(-1)^{\ell }{{2n} \choose {n-1-\ell }}\cos \left[2(\ell +1)x\right]}\right]\\\sin ^{2n+1}x&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{{2n+1} \choose {n-\ell }}\sin \left[(2\ell +1)x\right]\end{aligned}}$

Формулите за линеаризация от втора до шеста степен са формулите за намаляване на степента (5.1) – (5.6) по-горе.

Връзка с комплексни хиперболични функции

Тригонометричните функции могат да се изразят чрез хиперболични функции с комплексни аргументи: .

$${\begin{aligned}&\sin x=-i\sinh(ix)\\&\cos x=\cosh(ix)\\&\operatorname {tg} x=-i\operatorname {tgh} (ix)\\&\operatorname {cotg} x=i\operatorname {cotgh} (ix)\\&\sec x=\operatorname {sech} (ix)\\&\operatorname {cosec} x=i\operatorname {cosech} (ix)\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\sinh(ix)=i\sin x\\&\cosh(ix)=\cos x\\&\operatorname {tgh} (ix)=i\operatorname {tg} x\\&\operatorname {cotgh} (ix)=-i\operatorname {cotg} x\\&\operatorname {sech} (ix)=\sec x\\&\operatorname {cosech} (ix)=-i\operatorname {cosec} x\\\end{aligned}}$$

Тригонометрични функции от комплексни величини

Ако комплексната величина $z=x+iy$, тригонометричните функции от нея са комплексни тъждества в следния алгебричен вид:

$\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$

$\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$

$\operatorname {tg} z={\frac {\sin 2x+i\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}}$

$\operatorname {cotg} z={\frac {\sin 2x-i\sinh 2y}{\cosh 2y-\cos 2x}}$.

Модулът и фазата (аргумента) на комплексните функции се определят от изразите:

$|\sin z|={\sqrt {\sin ^{2}x+\sinh ^{2}y}}={\sqrt {\frac {\cosh 2y-\cos 2x}{2}}}$

$\arg(\sin z)=\operatorname {arctg} (\operatorname {cotg} x\cdot \operatorname {tgh} y)$

$|\cos z|={\sqrt {\cos ^{2}x+\sinh ^{2}y}}={\sqrt {\frac {\cosh 2y+\cos 2x}{2}}}$

$\arg(\cos z)=-\operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tgh} y)$

$|\operatorname {tg} z|={\sqrt {\frac {\cosh 2y-\cos 2x}{\cosh 2y+\cos 2x}}}$

$\arg(\operatorname {tg} z)=\operatorname {arctg} \left({\frac {\sinh 2y}{\sin 2x}}\right)$

$|\operatorname {cotg} z|={\sqrt {\frac {\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}$

$\arg(\operatorname {cotg} z)=\operatorname {arctg} \left(-{\frac {\sinh 2y}{\sin 2x}}\right)$.

Връзка между тригонометрични и хиперболични функции

$\sin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {sinh} x$ $\cos \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {cosh} x$ $\operatorname {tg} \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {tgh} x$ $\operatorname {cotg} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {cotgh} x$ $\sec \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {sech} x$ $\operatorname {cosec} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {cosech} x$

$\sinh x=-i\sin(ix)$ $\cosh x=\cos(ix)$ $\operatorname {tgh} x=-i\operatorname {tg} (ix)$ $\operatorname {cotgh} x=i\cot(ix)$ $\operatorname {sech} x=\sec(ix)$ $\operatorname {cosech} x=i\operatorname {cosec} (ix)$

Връзка между обратните тригонометрични и обратните хиперболични функции

Обратните тригонометрични функции $\operatorname {Arcsin} z$, $\operatorname {Arccos} z$, $\operatorname {Arctan} z$, $\operatorname {Arccot} z$, $\operatorname {Arcsec} z$ и $\operatorname {Arccsc} z$ от комплексния аргумент $z$ за общия случай и в частност при $z=ix$ са свързани със съответните обратни хиперболични функции ареасинус, ареакосинус, ареатангенс, ареакотангенс, ареасеканс и ареакосеканс чрез равенствата:

$\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Arsinh} iz$ $\operatorname {Arccos} z=\pm i\operatorname {Arcosh} z$ $\operatorname {Arctan} z=-\operatorname {Artanh} iz,\quad z^{2}\neq -1$ $\operatorname {Arccot} z=i\operatorname {Arcoth} iz$ $\operatorname {Arccec} z=\pm i\operatorname {Arsech} z$ $\operatorname {Arccsc} z=i\operatorname {Arcsch} z$

$\operatorname {Arcsin} ix=i\operatorname {arsinh} x$ $\operatorname {Arccos} ix={\frac {\pi }{2}}-i\operatorname {arsinh} x$ $\operatorname {Arctan} ix=i\operatorname {artanh} x,\quad (ix)^{2}\neq -1$ $\operatorname {Arccot} ix=-i\operatorname {arcoth} x$ $\operatorname {Arccec} ix={\frac {\pi }{2}}+i\operatorname {arsinh} x$ $\operatorname {Arccsc} ix=-i\operatorname {arsinh} x.$

С главна буква $A$ са означени функциите от комплексен аргумент.

Интеграли на тригонометрични функции

Определени интеграли

Решенията на следващите определени интеграли се изразяват с бета-функцията на Ойлер, която е свързана с гама-функцията чрез израза $\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$:

$\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{\nu _{1}}\varphi \cdot \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi ={\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\;,\quad {\text{Re}}\left({\frac {\nu _{j}+1}{2}}\right)>0$

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \cdot \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =\operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots$

$\int _{0}^{2\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \cdot \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =2\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}}\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{2}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots$

Вторият интеграл е полезен във физиката за изчисляване на сили между цилиндрични постоянни магнити, използвайки така нареченото мултиполно разлагане.

Вижте също

• Тригонометрия
• Тригонометрични функции
• Теорема за полуъгъла
• Синусова теорема
• Косинусова теорема
• Теорема за тангенсите
• Теорема за котангенсите
• Формули на Молвейде
• Простафереза
• Хиперболична функция
• Таблица на производни
• Таблица с интеграли на тригонометрични функции
• Версинус