Питагорова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Питагоровата теорема: сборът от площите на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на площта на квадрата със страна хипотенузата

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:[1]

a^2 + b^2 = c^2\!\,

където c е дължината на хипотенузата (страната срещу правия ъгъл на триъгълника), а a и b са дължините на двата катета (страните, образуващи правия ъгъл).

Изразена чрез площи, теоремата гласи:

За всеки правоъгълен триъгълник площта на квадрата със страна хипотенузата е равна на сбора от площите на двата квадрата със съответни страни катетите.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570-495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване,[2][3] въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.[4]

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация.[5][6] Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите — на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи.[7] Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Други форми[редактиране | edit source]

Както бе посочено ако c е дължината на хипотенузата, а a и b са дължините на катетите, то Питагоровата теорема може да бъде изразена като Питагоровото уравнение:

a^2 + b^2 = c^2\,

Ако дължината на a и b се знае, то c може да бъде пресметнато по следния начин:

 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,

Ако дължината на хипотенузата c и единият катет (a или b) се знае, то дължината на другия катет може да бъде пресметната чрез следните уравнения:

a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,

или

b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,

Доказателства[редактиране | edit source]

Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.[8]

Доказателство с подобни триъгълници[редактиране | edit source]

Схема 1: Доказателство с използване на подобни триъгълници

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника — съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека ABC е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха C, както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха C, като нейната пресечна точка със страната AB е точката H. H разделя хипотенузата на триъгълника с дължина c на части с дължини d и e. Новообразуваният триъгълник ACH е подобен на триъгълника ABC, защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха A е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с θ, са равни. По същия начин триъгълникът CBH също е подобен на ABC. От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

 \frac{a}{c}=\frac{e}{a}    и     \frac{b}{c}=\frac{d}{b}

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

a^2=c\times e    и     b^2=c\times d

При събиране на двете уравнения се получава:

 a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2

Този израз съвпада с Питагоровата теорема:

a^2+b^2=c^2 \!

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.[6][9]

Доказателство на Евклид[редактиране | edit source]

Доказателство на Евклид

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47[10]

Нека ABC е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза BC. Построяваме квадратите ACIH, ABFG и BCED от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра AL от точката A към правата DE. Нека той пресича правата BC в точката K. Построяваме също отсечките CF и AD.

Ъгълът CBF е равен на сумата на ъглите ABC и ABF. Аналогично, ъгълът ABD е равен на сумата на ABC и CBD. Тъй като ъглите ABF и CBD са прави, а следователно и равни, следва, че ABD е равен на CBF. Освен това отсечките BF и BA са равни, тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично BD е равна на BC. От там следва, че триъгълниците ABD и CBF са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника ABD е равно на половината от лицето на правоъгълника KBDL, тъй като KB е равна на височината към страната BD в триъгълника ABD. Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури[редактиране | edit source]

Доказателство на Питагорова теорема

Даден е квадрат със страна c. В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни a и b

Лесно се вижда, че полученият по средата квадрат е със страна а-b => Лицето на големият квадрат е c2 и е равно на лицата на триъгълниците 4.ab/2 + лицето на малкия квадрат (a-b)2

След разписване се получава

c2 = 2ab + (a-b)2

c2 = 2ab + a2 - 2ab + b2

c2 = a2 + b2

Доказателство на Гарфийлд[редактиране | edit source]

Доказателство на Гарфийлд

Доказателството е написано през 1876 г., от Джеймс Гарфийлд (впоследствие президент на САЩ, но тогава депутат)[11][12] като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b) А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c2/2

Тоест (a+b)2/2 = ab + c2/2

a2/2 + b2/2 + ab = ab + c2/2

a2/2 + b2/2 = c2/2

a2 + b2 =c2

Източници[редактиране | edit source]

  1. ((en)) Sally, Judith D. и др. Chapter 3: Pythagorean triples. // Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore, 2007. ISBN 0821844032. с. 63.
  2. ((en)) Allman, George Johnston. Greek Geometry from Thales to Euclid. Kessinger Publishing LLC, 2005, [1889]. ISBN 143260662X. с. 26.
  3. Heath 1921, с. 144.
  4. ((en)) Neugebauer, Otto. The exact sciences in antiquity. Courier Dover Publications, 1969. ISBN 0486223329. с. 36.
  5. ((en)) Dantzig, Tobias. The bequest of the Greeks. Charles Scribner's Sons, 1955. с. 97.
  6. а б Maor 2007, с. 39.
  7. ((en)) Allman, GJ. The Encyclopaedia Britannica: A Dictionary of Arts, Sciences, and General Literature, Volume 20. 9th. H.G. Allen, 1888. с. 142.
  8. Loomis 1968.
  9. ((en)) Hawking, Stephen W.. God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia, Running Press Book Publishers, 2005. ISBN 0762419229. с. 12.
  10. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html
  11. Published in a weekly mathematics column: James A Garfield. {{{title}}}. // The New England Journal of Education 3. 1876. с. 161. as noted in William Dunham. The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities. Wiley, 1997. ISBN 0-471-17661-3. с. 96. and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 by V. Frederick Rickey
  12. Prof. David Lantz' animation from his web site of animated proofs
Цитирана литература

Външни препратки[редактиране | edit source]