Тригонометрия

Тригонометрична таблица в енциклопедичен речник от 1728 година

Тригонометрията (на старогръцки: τρίγωνον и μέτρον, „триъгълник“ и „мярка“) е дял на математиката, изучаващ отношенията на ъглите и страните в триъгълника. За тази цел тригонометрията използва тригонометричните функции синус, косинус и тангенс и техните производни, които описват тези отношения и намират широко приложение в много други области на математиката, науката и техниката. Тригонометрията възниква през 3 век пр.н.е. като клон на геометрията, като първоначално намира приложение главно в астрономията.

Тригонометрията обикновено се преподава в основните и средните училища. Тя намира приложение както в чистата, така и в приложната математика, като е от съществена важност за много области на науката и техниката. Една от нейните подобласти, сферичната тригонометрия, играе важна роля в астрономията и навигацията. Други свързани с тригонометрията области са хиперболичната и елиптичната геометрия.

История

Хипарх (2 век пр.н.е.), авторът на най-старата известна тригонометрична таблица, наричан „бащата на тригонометрията“

Египетските и вавилонските математици не измерват пряко ъглите, но изследват съотношенията между страните на подобни триъгълници и откриват някои техни свойства.

Едва през Елинистическата епоха (4 – 1 век пр.н.е.) тригонометрията се превръща в систематична наука. Математици от този период, като Евклид и Архимед, изследват свойствата на ъглова хорда и доказват теореми, еквивалентни на съвременните тригонометрични зависимости, макар че ги разглеждат в геометричен, а не в алгебричен контекст. Хипарх от Никея, работил в средата на 2 век пр.н.е., е автор на най-старите известни тригонометрични таблици в книгата си „Хорди в окръжност“, разширени от Клавдий Птолемей в неговия „Алмагест“. В Индия тригонометрични зависимости са описани в Суря Сидханта и работите на астронома от 5 век Арябхата.

Гръцките и индийски изследвания в областта на тригонометрията стават основа за работата на ислямските учени в тази област. През 10 век ислямските математици използват и всички основни тригонометрични функции, разполагат с таблици с техните стойности и ги прилагат към задачи от сферичната геометрия. Приблизително по това време тригонометрията е разработена по независим път и в Китай, макар че там тя не се превръща в значима област на изследване.

Тригонометричните методи достигат до Западна Европа през 12 век чрез латински преводи на трудове на ислямски астрономи, като Мохамед ал-Батани и Насир ад-Дин ат-Туси. Една от най-ранните западни работи в областта на тригонометрията е „Пет книги за триъгълниците от всички видове“ („De triangulis omnimodis libri quinque“) на германеца Йохан Региомонтан, писана през 1462 – 1464 година. Въпреки това през 16 век тригонометрията продължава да бъде слабо позната в Европа и Николай Коперник отделя две глави от своя основен труд „За въртенето на небесните сфери“, за да обясни нейните основни положения. През 1595 година понятието „тригонометрия“ е използвано за пръв път от германеца Вартоломей Питиск в неговия труд „Тригонометрия: кратък и ясен трактат за решаването на триъгълници“ („Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus“).

През този период тригонометрията се превръща в основен клон на математиката, поради нуждите на корабоплаването и необходимостта от точни карти на обширни области. Фризиецът Гема Фризий за пръв път описва основаващия се на тригонометрията метод на триангулацията, използван до наши дни в геодезията. Трудовете на шотландците Джеймс Грегъри и Колин Маклорин стават основа за по-късното развитие на теорията на тригонометричните редове, а англичанинът Брук Тейлър извежда общите редове на Тейлър.

Съвременния облик на тригонометрията дава германецът Леонард Ойлер през 1748 година, като прилага към нея методите на математическия анализ. Той прави значителни преобразувания в науката, като въвежда познатите днес означения sinx, cosx, tgx, въвежда традицията ъглите да се означават с главни букви, а срещулежащите им страни – със съответните малки букви. Първи прави представянето на тригонометричните криви като функции на ъгъла, като използва единичната окръжност. В книгата си „Увод в анализа на безкрайните“ Ойлер внася яснота по въпроса за знаците на тригонометричните функции в различните квадранти и дава събирателните формули.

Основни зависимости в правоъгълния триъгълник

Основни зависимости в правоъгълния триъгълник:

• sin α = a / c;
• cos α = b / c;
• tg α = a / b.

Тригонометрията на правоъгълния триъгълник е много проста. Тъй като сумата от ъглите на един триъгълник е 180°, правият ъгъл на един такъв триъгълник е най-големият вътрешен ъгъл. Срещу него лежи най-дългата страна, наречена хипотенуза. Двете по-къси страни на триъгълника се наричат катети. Като се вземе за база един от двата по-малки ъгли, е правилно катетът срещу този ъгъл да се нарече противоположен катет, а съседният катет прилежащ катет.

• sin (синус) α = Срещуположен катет / Хипотенуза;
• cos (косинус) α = Прилежащ катет / Хипотенуза;
• tg (тангенс) α = Срещуположен катет / Прилежащ катет;
• cot (котангенс) α = Прилежащ катет / Срещуположен катет;
• cosec (косеканс) α = Хипотенуза / Срещуположен катет;
• sec (секанс) α = Хипотенуза / Прилежащ катет.

Тези дефиниции имат смисъл, тъй като различните правоъгълни триъгълници с еднакви ъгли са подобни и съответно при тях съотношенията между страните са еднакви. Така например, при едни и същи стойности на тригонометричните функции един триъгълник може да има двойно по-дълги страни от друг, т.е. тези стойности зависят само от съответните ъгли. Затова е правилно да се говори за функции на ъглите.

Пресмятане на тригонометрични функции

Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

Зависимости в единична окръжност

Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност

За много цели са интересни тригонометричните стойности на ъгли по-големи от 90°. Единичната окръжност е една окръжност с радиус, равен на единица, и център, поставен в началото на равнината на комплексните числа. На всеки ъгъл съответства една определена точка от единичната окръжност. Х-координатта на тази точка е стойността на косинуса на дадения ъгъл и Y-координатата на стойността на синуса.

Дадените по-горе дефиниции за стойностите на синуса и косинуса могат да се разширят без проблеми за стойности на ъгли над 90°. Вижда се, че за стойности между 90° и 270°, x-координатата, а също и косинусът, са отрицателни, съответно за ъгъл между 180° и 360°, y-координатата и с това и синусът са отрицателни. Тези дефиниции могат да се прилагат и за ъгли, които са по-големи от 360°, както и за отрицателни ъгли.

Четирите тригонометрични функции се определят по формулите:

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

$\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}$

$\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}$

Свойства на функцията синус

Синус

1. Област на функцията – множеството на всички реални числа: $D(y)=R$.
2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]: $E(y)$ = [−1;1].
3. Функция $y=\sin \left(\alpha \right)$ е нечетна: $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,$.
4. Функция е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $\alpha =\pi n\,n\in Z\,$.
6. Промеждутъци на постоянни знаци: $y>0$ при $\left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,n\in Z$ и $y<0$ при $\left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\sin \alpha )'=\cos \alpha \,$
8. Функцията $y=\sin \alpha$ е растяща при $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z$, и намаляваща при $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z$.
9. Функцията има минимум при $\alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,n\in Z$ и максимум при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,n\in Z$.

Свойства на функцията косинус

Косинус

1. Област на определение на функцията – множеството на всички реални числа: $D(y)=R$.
2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]: $E(y)$ = [−1;1].
3. Функцията $y=\cos \left(\alpha \right)$ е четна: $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,n\in Z\,$.
6. Промеждутъците за непроменен знак: $y>0$ при $\left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z$ и $y<0$ при $\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z.$
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\cos \alpha )'=-\sin \alpha \,$
8. Функцията $y=\cos \alpha$ е растяща при $\alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,n\in Z,$ и е намаляваща при $\alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,n\in Z.$
9. Функцията има минимум при $\alpha =\pi +2\pi n\,n\in Z$ и максимум при $\alpha =2\pi n\,n\in Z.$

Свойства на функцията тангенс

Тангенс

1. Област на определяне на функции – множеството от всички реални числа: $D(y)=R$, освен числата $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n.$
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: $E(y)=R.$
3. Функцията $y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$ е нечетна: $\mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha \,$.
4. Функцията е периодична. Най-малкия положителен периоде равен на $\pi$: $\mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $\alpha =\pi n\,n\in Z\,$.
6. Промеждутъците на постоянен знак: $y>0$ при $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,n\in Z$ и $y<0$ при $\left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$
8. Функция $y=\mathrm {tg} \ \alpha$ расте при $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,n\in Z$.

Свойства на функцията котангенс

Котангенс

1. Област на определяне на функции – множество на всички реални числа: $D(y)=R,$ освен числата $\alpha =\pi n.$
2. Множество на стойностите – множествота на всички реални числа: $E(y)=R.$
3. Функцията $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right)$ е нечетна: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(-\alpha \right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha \,.$
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $\pi$: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha +\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right).$
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,n\in Z\,.$
6. Областите с постоянен знак: $y>0$ при $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,n\in Z$ и $y<0$ при $\left({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,n\in Z.$
7. Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: $(\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.$
8. Функцията $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha$ се намалява при $\alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,n\in Z.$

Зависимости в обикновен триъгълник

В обикновения триъгълник има формули, които позволяват да се определят неизвестните страни и ъглите в него. Използват се синусова теорема и косинусова теорема. Използването на синусовата теорема е полезно, когато са известни две страни и един от срещуположните ъгли или една страна и прилежащите ѝ ъгли.

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

И косинусовите теореми позволяват от три известни страни да се пресметнат ъглите, или от две страни и един ъгъл между тях да се пресметне срещуположната страна.

$a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Примери за пресмятане в триъгълника

При известни три страни

Зададени три страни

Дадени са три страни $a,b,c$. Условие за решимост на задачата е изпълнение на неравенството на триъгълника, а именно дължината на всяка страна трябва да бъде по-малка от сбора на дължините на другите две страни на триъгълника:

$a<b+c;\;b<a+c;\;c<a+b$

За да се намерят ъглите на $\alpha ,\beta$, трябва да се използва косинусовата теорема:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

$\beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

Третият ъгъл се намира веднага по правилото за сумата на трите ъгъла да е равна на 180°:

$~\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$.

Дадени са две страни и ъгъл между тях

Две страни и ъгъл между тях

Известни са дължините на страните $a,b$ и ъгъла $\gamma$ между тях. Този вариант на задачата има едно решение. За определяне на дължината на страната $c$ се използва отново косинусовата теорема:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$

След това задачата се свежда до предишния случай. По-нататък се използва косинусовата теорема за изчисляването на втория ъгъл:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {b-a\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$

Третият ъгъл се намира от теоремата за сбора на ъглите на триъгълника: $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$.

Дадени са две страни и един от срещуположните ъгли

Две страни и ъгъл срещу една от тях

В този случай могат да съществуват две решения, едно решение или никакво решение. Известни са две страни $b,c$ и ъгъл $\beta$. Уравнението за ъгъла $\gamma$ се намира от синусовата теорема:

$\sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta$

За по-кратко ще означим $~D={\frac {c}{b}}\sin \beta$ (дясна част на уравнението). При решението на уравнението са възможни 4 случая.

Две възможни решения

1. Задачата няма решение (страната $b$ „не достига“ до линията BC) в два случая: ако $D>1$ или ако ъгъла $\beta \geqslant 90^{\circ }$ и при това $b\leqslant c.$
2. Ако $D=1$, Съществува едно-единствено решение, при това триъгълника е правоъгълен, $\gamma =90^{\circ }.$
3. Ако $D<1$, възможни са 2 варианта.
   1. Ако $b<c$, то ъгъла $\gamma$ има две възможни решения: острия ъгъл $~\gamma =\arcsin D$ и тъп ъгъл $~\gamma '=180^{\circ }-\gamma$. На скицата вдясно на първото значение съответства точка $C$, страна $b$ и ъгъл $\gamma$, а на второто значение – точка $C'$, страна $b'=b$ и ъгъл $\gamma '$.
   2. Ако $b\geqslant c$, то $\beta \geqslant \gamma$ (както е известно, на голямата страна на триъгълника съответства по-големият противоположен ъгъл). Тъй като в триъгълника не може да има два тъпи ъгъла, за $~\gamma$ е изключен тъпия ъгъл, и решението $~\gamma =\arcsin D$ е единствено.

Третия ъгъл се определя по формулата $~\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$. Третата страна може да се намери по синусовата теорема:

$a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

Дадени са една страна и принадлежащите ѝ ъгли

Страна и два ъгъла

Дадена е страна $c$ и два ъгъла. Тази задача има едно решение, ако сумата от двата ъгъла е по-малка от $180^{\circ }$. В противен случай задачата няма решение.

Отначало се определя третия ъгъл. Например, ако са дадени ъглите $\alpha ,\beta$, то $~\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$. По нататък двете неизвестни страни се намират чрез синусовата теорема.:

$a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}$

Тъждество на Питагор

Тъждество е уравнение, което е вярно за всяка стойност на променливата. По-долу е дадена преобразуваната с тригонометрични функции Питагорова теорема.

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$

Двете уравнения по-долу са следствие от горното.

$\sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\$

$\csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\$

Формули за преобразуване на ъгли

$\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B$

$\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B$

$\tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}$

$\cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}$

Тригонометрични функции

Шестте тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс) са свързани в определени зависимости помежду си.

$\sin(90^{\circ }-\alpha )\,=\,\cos \alpha$

$\cos(90^{\circ }-\alpha )\,=\,\sin \alpha$

Формулите в тригонометрията са свързани със суми и разлики в ъглите: Както следва за всички $\alpha$ und $\beta$:

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Формула на Ойлер

Формулата на Ойлер, която казва, че $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, извежда следните тъждества за sin, cos, и tan изразени с експонентата e и имагинерната единица (imaginary unit) i:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.$

Сферична тригонометрия

Важна отделна част от тригонометрията, използвана в астрономията, навигацията, геодезията и други отрасли е сферичната тригонометрия, която се занимава със свойствата на ъглите между големите кръгове на сферата и дъги на тези големи кръгове. Геометрията на сферата се различава съществено от плоската геометрия (Евклидова геометрия). Тъй като сумата от ъглите в сферичния триъгълник е различен от 180°, триъгълникът може да има и три прави ъгъла. В сферичната тригонометрия дължината на страните на триъгълника (дъги от големи кръгове на сферата) се изразяват посредством централни ъгли, съответстващи на тези дъги. Затова например сферичната теорема за синусите се изразява във вид:

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},$

и съществуват две двойствени теореми на косинусите.

Области на приложение

Роботизираната ръка Canadarm2 на международната космическа станция се контролира чрез ъглите на нейните свръзки. Пресмятането на крайната позиция на космонавта в края на ръката изисква непрекъснато пресмятане на тригонометричните функции на тези ъгли.

За намиране на разстоянието от брега до кораба се използва методът на триангулацията. Наблюдателите в α и β измерват разстоянието между тях и ъглите между брега и кораба. За изчисляване на разстоянието d се използва дължината l и ъглите α и β.

Секстант – навигационен измерителен инструмент, използван за измерване на височината на небесни тела с цел да се определят географските координати на местността, в която се прави измерването.

Тригонометрията играе важна роля в различни области на живота:

В геодезията се използва триангулацията, когато от две известни точки се прави измерване към други позиции (измерване на ъгли) и от там се определя тригонометрично положението на новите точки. В астрономията по този начин се определят разстоянията до планетите, луната и по-близко разположените звезди. По същият начин се извършва навигацията на самолети и кораби.

Във физиката синусните и косинусните функции служат за това да се описват математически колебанията и вълните (например при звукови вълни или при електромагнитни вълни). По същият начин се описват и електрическият ток и напрежението чрез синусоидални функции.

Освен тези приложения, трябва да се отбележат и множеството области в които се използва тригонометрията, като архитектура, машиностроене, топография, геодезия, картография, много раздели на физиката, теория на музиката, акустика, оптика, финансов анализ, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина, химия, теория на числата (криптография), сеизмология, метеорология, океанография, икономика, фармакология, кристалография, зрително възприятие и т.н.

Това, че тези области използват тригонометрията, не означава, че нейното непознаване ще пречи някои от тях да се изучават. Един музикант може да не познава добре математиката, но сигурно знае, че Питагор е първият учен, разработвал математически теорията на музиката.

Бележки

Цитирани източници

• Boyer, Carl Benjamin. A History of Mathematics. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0471543977. (на английски)