Тригонометрична функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

  • отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
  • координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център — началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

или като

  • безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълик[редактиране | редактиране на кода]

Правоъгълен триъгълник

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно .

Дефиниции[редактиране | редактиране на кода]

Синус на ъгъл е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл са подобни.

Косинус на ъгъл е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

.

Тангенс на ъгъл е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

.

Котангенс на ъгъл е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

.

Секанс на ъгъл е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

.

Косеканс на ъгъл е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

.

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Функция Означ. Връзка Дефиниционна област Приема стойности
Синус sin всяко φ [–1; 1]
Косинус cos всяко φ [–1; 1]
Тангенс tg всяко φ, без φ = kπ, kцяло число
Котангенс cotg или ctg всяко φ, без φ = π/2 + kπ, kцяло число

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност[редактиране | редактиране на кода]

Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез радиус-вектора и единичната окръжност или чрез отношения в правоъгълен триъгълник

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл около О.

Синус на ъгъла се нарича отношението на ординатата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

.

По същия начин

.

Тангенс на ъгъла се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

, .

За котангенса имаме

, .

Тригонометричните функции като редове[редактиране | редактиране на кода]

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

, .

където Bn са числата на Бернули.

където Еn са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функции[редактиране | редактиране на кода]

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс — нечетни, т.е.

,
,
,
.

За остри ъгли

,
,
,
.

За ъгли е изпълнено

,
,
.

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

.


Източници[редактиране | редактиране на кода]

  • Тригонометрические функции — статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]