Тригонометрична функция

Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

• отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
• координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

• решения на някои диференциални уравнения

или като

• безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно $0<\alpha ,\beta <{\frac {\pi }{2}}$.

Дефиниции

Синус на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл $\alpha$, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл $\alpha$ са подобни.

Косинус на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$.

Тангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}$.

Котангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

$\operatorname {cotg} \,\alpha ={\frac {b}{a}}$.

Секанс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

$\sec \alpha ={\frac {c}{b}}$.

Косеканс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

$\operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {c}{a}}$.

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Функция	Означ.	Връзка	Дефиниционна област	Приема стойности
Синус	$\operatorname {sin}$	$\sin \phi =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)\,$	$\forall \phi$	[–1; 1]
Косинус	$\operatorname {cos}$	$\cos \phi =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)\,$	$\forall \phi$	[–1; 1]
Тангенс	$\operatorname {tg}$ или $\operatorname {tan}$	$\operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }}=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)\,$	$\forall \phi$ без $\phi =k\pi$, $k\in$ $\mathbb {Z}$	$(-\infty ;+\infty )$
Котангенс	$\operatorname {cotg}$ или $\operatorname {ctg}$	$\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }}=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)\,$	$\forall \phi$ без $\phi ={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, $k\in$ $\mathbb {Z}$	$(-\infty ;+\infty )$

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност

Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез радиус-вектора и единичната окръжност или чрез отношения в правоъгълен триъгълник

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл $\vartheta$ около О.

Синус на ъгъла $\vartheta$ се нарича отношението на ординатата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

$\sin \vartheta ={AC}$.

По същия начин

$\cos \vartheta ={OC}$.

Тангенс на ъгъла $\vartheta$ се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

$\operatorname {tg} \,\vartheta ={\frac {AC}{OC}}$, $\operatorname {tg} \,\vartheta ={\frac {\sin \vartheta }{\cos \vartheta }}$.

За котангенса имаме

$\operatorname {ctg} \,\vartheta ={\frac {OC}{AC}}$, $\operatorname {ctg} \,\vartheta ={\frac {\cos \vartheta }{sin\vartheta }}$.

Тригонометричните функции като редове

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$, $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$.

$\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right)$

където B_n са числата на Бернули.

$\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$

където Е_n са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функции

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

$\sin \left(-x\right)=-\sin x$,

$\cos \left(-x\right)=\cos x$,

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,x$,

$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,x$.

За остри ъгли $\alpha <{\frac {\pi }{2}}\,\!$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$,

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$,

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha$,

$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha$.

За ъгли $0<\alpha <\pi \,\!$ е изпълнено

$\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha$,

$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$,

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}$.

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

$\left(AC\right)^{2}+\left(BC\right)^{2}=\left(AB\right)^{2}$,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$.

Източници

• Тригонометрические функции – статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте също

• Аркуссинус
• Списък с интеграли на тригонометрични функции
• Обратни тригонометрични функции