Тригонометрична функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

  • отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
  • координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център — началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

или като

  • безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълик[редактиране | edit source]

Правоъгълен триъгълник

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно 0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}.

Дефиниции[редактиране | edit source]

Синус на ъгъл \alpha е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

\sin\alpha=\frac{a}{c}.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл \alpha, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл \alpha са подобни.

Косинус на ъгъл \alpha е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

 \cos\alpha=\frac{b}{c}.

Тангенс на ъгъл \alpha е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}.

Котангенс на ъгъл \alpha е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

\operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}.

Секанс на ъгъл \alpha е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

\sec\alpha=\frac{c}{b}.

Косеканс на ъгъл \alpha е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

\operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}.

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Функция Означ. Връзка Дефиниционна област Приема стойности
Синус sin \sin \phi = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \, всяко φ [–1; 1]
Косинус cos \cos \phi = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right)\, всяко φ [–1; 1]
Тангенс tg \operatorname{tg} \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \, всяко φ, без φ = kπ, kцяло число (-\infty; +\infty)
Котангенс cotg или ctg \operatorname{ctg} \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \, всяко φ, без φ = π/2 + kπ, kцяло число (-\infty; +\infty)

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност[редактиране | edit source]

Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез радиус-вектора и единичната окръжност или чрез отношения в правоъгълен триъгълник

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл \vartheta около О.

Синус на ъгъла \vartheta се нарича отношението на абсцисата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

\sin\vartheta={AC}.

По същия начин

\cos\vartheta={OC}.

Тангенс на ъгъла \vartheta се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC}, \operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.

За котангенса имаме

\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC}, \operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{sin\vartheta}.

Тригонометричните функции като редове[редактиране | edit source]

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

 \sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},  \cos x = 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

 \operatorname{tg}\,x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)

където Bn са числата на Бернули.

 \sec x = 1+\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{277x^8}{8064} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}

където Еn са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функции[редактиране | edit source]

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс — нечетни, т.е.

 \sin \left( - x \right) = - \sin x,
 \cos \left( - x \right) = \cos x,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, x,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, x.

За остри ъгли \alpha < \frac{\pi}{2}\,\!

 \sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha,
 \cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha.

За ъгли 0 < \alpha < \pi \,\! е изпълнено

 \sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha,
 \cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{\pi}{2}.

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

 \left(AC \right)^2 + \left(BC \right)^2 = \left(AB \right)^2,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.


== Източници ==


Източници[редактиране | edit source]

  • Тригонометрические функции — статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте също[редактиране | edit source]