Математическа логика

Математическата логика е дял от математиката, съвременна форма на формалната логика. Тя се интересува от теорията на логическите константи и предикати от произволна степен и връзките между тях. Днес математическа логика е обширна област от математическото знание. Тя има приложение в математическия анализ, теорията на множествата и топологията, алгебрата, информатиката, а също в някои области на теоретичната физика.

Дялове

• Теорията на множествата изучава множества, които са абстрактни съвкупности от обекти. В областта на аксиоматичната теория на множествата се правят изследвания с помощта на логически методи, за да се установи кои математически твърдения в различните формални теории са доказуеми.

• Теорията на доказателствата изследва формалните математически твърдения. Доказателствата се представят като математически обекти, за да бъдат изследвани с помощта на математически техники. Първоначално теорията на доказателствата е създадена за обосноваване на инфинитните математически методи на базата на финитни, избягващи безкрайността разсъждения. Фреге се занимава с математически доказателства и формализира понятието доказателство. Терминът „теория на доказателствата“ е предложен от Давид Хилберт.

• Теорията на моделирането изследва модели на формални теории. Множеството на моделите на определена теория се нарича елементарен клас. Класическата теория на моделирането се опитва да определи свойствата на определен елементарен клас или да определи дали някои класове от структури са елементарни. Методите за елиминиране на кванторите се използват, за да се покаже, че моделите на определени теории не могат да са много сложни.

• Теория на рекурсията изучава изчислимите функции и степените на Тюринг, по които се класифицират неизчислимите функции.

Границите между тези дялове и между математическата логика и другите дялове на математиката не винаги са точно определени. Например теоремата за непълнотата на Гьодел играе важна роля не само в теорията на доказателствата, а и в модалната логика.

Преди математическата логика е била наричана символна логика за разлика от философската логика и метаматематиката. Последното наименование е все още в употреба.

Исторически бележки

През средните векове формалната логика се обаготява с употребата на символи най-напред в трудовите на философите схоластици Р. Лулий, Д. Скот, У. Окам и др.

Истинският създател на математическата логика е Готфрид Вилхелм Лайбниц. В около 30 съчинения (най-важни от тях са „За изкуството на комбинаториката“ и „Монадология“) той предвижда основните принципи за математизирането на логика. Неговите трудове в тази област обаче остават неизвестни около два века. Причината за големия подем и развитието на математическата логика в средата на XIX век е възникването на трудности от логическо естество в математиката, които не бе възможно да се преодолеят със средствата на традиционната логика. Първите значителни трудове след Лайбниц са на Бернард Болцано, Джордж Бул, Ч. Пирс, Е. Шрьодер и особено на Готлоб Фреге.

Едва през XIX в. главно чрез усилията на А. де Морган и Дж. Бул започват да се реализират предсказанията на Лейбниц. Де Морган създава алгебрата на бинарните оелации, а Бул предлага в книгата „Изследване на законите на мисълта“ първата систематично изградена алгебра на класовете.

Съществени приноси към математическата логика на XX век имат Бъртранд Ръсел, Давид Хилберт, Курт Гьодел, Алфред Тарски и др.

Революцията в областта на математическата строгост свързана с О. Коши, Б. Болцано, К. Вайерщтрас и Р. Дедекинд, поражда необходимостта да се преразгледа критично езикът, които се използва в математиката, методите, чрез които се дефинират абстрактните математически обекти и законите на логика, които са ръководещи при разсъжденията за подобни обекти. Тези задачи се решени в трудовете на Дж. Пеано и Г. Фреге. При тях и особено в монографията на Б. Ръсел и А. Уайтхед „Principia mathematica“ присъстват всички основни идеи на математическата логика: използване на изкуствени логически езици, чиито елементи (формули) изразяват, когато са интерпретирани, математически факти; формулиране на специални правила за преминаване от едни формули към други правила за извод; изучаване на формални аксеометрични теории (или смятения), т.е. на системи, които се състоят от много аксиоми (изходни формули) и правила на извод.

Кризата в основите на математиката от началото XX в. поставя остро задачата за обосноваване на методите за разсъждаване, употребявани в математиката. Д. Хилберт посочва, че за оправдане на методите е достатъчно да се покаже, че те не водят до противоречие. За целта е необходимо да се обхване цялата математика във формални системи, а непртиворечивостта им да се демонстрира със сигурни, финитни (нагледни) средства. Програмата на Хилберт за такова финитно гарантиране на достоверността на математика се проваля през 1931 г., когато Гьодел доказва знаменитите две теореми за непълнота. Първата от тях гласи, че всички приемливи от глядището на Хилберт и достатъчно богати системи са непълни, т.е. има твърдения от езика им, които са верни, но не са техни теореми. Втората посочва едно такова твърдение – твърдението, което изразява непротиворечивостта на самата система.

Тези теореми на Гьодел поставят началото на друг важен клон от математическа логика – теорията на доказателствата. Тук съществени приноси през 1930-те години имат Ж. Ербран, Г. Генцен и др.

Вижте също

• Логика
• Съждителна логика

Външни препратки

• Вилнис и Карлис (Латвийски университет), учебник по логика (английски език) Introduction to Mathematical Logic.