Биномен коефициент

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Биномен коефициент на естествените числа k и n е броят на всички възможни k-елементни подмножества на дадено n-елементно множество. Биномният коефициент е естествено число и се дефинира като:

за 0 ≤ kn

 {n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

и за k > n, k < 0

{n \choose k} = 0.

Символът {n \choose k} се чете " n над k ".

Също така за 1 ≤ kn важи следното:

 {n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k},

където с m! е означен факториелът на m.

Биномните коефициенти получават името си от развитието на бинома

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k.

Формули, свързани с биномните коефициенти[редактиране | edit source]

Тези формули се използват често в задачи от комбинаториката и теорията на вероятностите.

{n \choose k}= {n \choose n-k}.

Това следва директно от дефиницията. Други формули са

\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n,
\sum_{k=1}^{n} {k} {n \choose k} = {n} 2^{n-1}.

Следва формулата на Вандермонд

\sum_{j} {m\choose j} {{n-m} \choose {k-j}} = {n \choose k}

Сродни са формулите

\sum_{m} {m\choose j} {n-m\choose k-j}= {n+1\choose k+1},


\sum_{j=0}^{m} {m \choose j}^2 = {{2m} \choose m}.

Като означим числата на Фибоначи с F(n + 1), получаваме формула за диагоналите на триъгълника на Паскал

\sum_{k=0}^{n} {{n-k} \choose k} = \mathrm{F}(n+1).

Това може да се докаже с индукция.

Триъгълник на Паскал[редактиране | edit source]

Триъгълникът на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през XVII век. Намерен е и в китайски писмени източници от XI век.

Всеки елемент - в n-ти ред на k-та позиция - в триъгълника притежава аритметично и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с {n \choose k} - чете се (биномен коефициент) n над k, или C^n_k - комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

{n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

Коефициенти до десети ред[редактиране | edit source]

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:


Триъгълник на Паскал


Обобщение за отрицателни числа[редактиране | edit source]

Дефиницията на биномните коефициенти може да бъде разширена за отрицателни числа по следния начин:

{-n\choose r} = (-1)^r{n+r-1\choose r}

за r ≥ 0, n ≥ 0,

{-n\choose -r} = \begin{cases}0\quad \mbox{if} r<n,\\ {-n\choose r-n}\quad \mbox{if }r\geq n,\end{cases} n>0, r>0

и

{n\choose r} = 0

ако n ≥ 0, r < 0 или r > n.

Обобщение за реален и комплексен аргумент[редактиране | edit source]

Биномният коефициент {z\choose k} може да бъде дефиниран за всяко комплексно число z и за всяко естествено число k по следния начин:

{z\choose k} = \prod_{n=1}^{k}{z-k+n\over n}= \frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}.

Това обобщение е известно като обобщен биномен коефициент и се използва при формулирането на биномната теорема.


Източник[редактиране | edit source]

Binomial coefficient - статия в Уикипедия на английски език [16 февруари 2008].

Вижте също[редактиране | edit source]

Триъгълник на Паскал

Външни връзки[редактиране | edit source]