Косинусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Нека разгледаме триъгълник със страни , и (вж. Рис. 1).

Рис. 1

Тогава е в сила равенството

Тук, с означаваме ъгълът, заключен между и . За страните и косинусовата теорема изглежда така:

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателства[редактиране | редактиране на кода]

Доказателство с Пигагорова теорема[редактиране | редактиране на кода]

Нека да разгледаме триъгълника . От върха към страната е спусната височината (вж. Рис. 2). От триъгълника следва:

Рис. 2
,

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника и .

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

След опростяване получаваме

Доказателство с вектори[редактиране | редактиране на кода]

Въвеждаме базисните вектори и .

Нека . По правилото за изваждане на вектори получаваме:

След повдигане на квадрат достигаме до равенството:

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че:

С това теоремата е доказана.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]