Хиперболична функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Лъч през единичната хипербола в точка , където е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста . За точките на хиперболата под оста , площта се счита за отрицателна.

Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен. Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила , докато за хиперболическите , което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система. Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.

Стандартни аналитични изрази[редактиране | редактиране на кода]

sinh, cosh и tanh
csch, sech и coth
(a) cosh(x) е средно аритметичното на ex и e−x
(b) sinh(x) е половината разлика на ex и e−x

Хиперболичните функции са:

  • Хиперболичен синус:
.
  • Хиперболичен косинус:
.
  • Хиперболичен тангенс:
.
  • Хиперболичен котангенс:
  • Хиперболичен секанс:
  • Хиперболичен косеканс:

Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:

  • Хиперболичен синус:
  • Хиперболичен косинус:
  • Хиперболичен тангенс:
  • Хиперболичен котангенс:
  • Хиперболичен секанс:
  • Хиперболичен косеканс:

където i е имагинерната единица със свойство i2 = −1.

Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер.

Специален смисъл[редактиране | редактиране на кода]

Хиперболичен косинус[редактиране | редактиране на кода]

Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:[1]

Хиперболичен тангенс[редактиране | редактиране на кода]

Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение за f(0)=0 и нелинейната краева задача:[2]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Golden Integral Calculus. Firewall Media, 2005. ISBN 81-7008-169-6. с. 472.
  2. Eric W. Weisstein. Hyperbolic Tangent. // MathWorld. Посетен на 2008-10-20.