Хипербола

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Тази статия е за геометричната крива. За стилистичната фигура вижте Хипербола (литература).

Хиперболите x2-y2=1 и y2-x2=1
Хиперболата като конично сечение

Хиперболата в математиката е равнинна алгебрична крива от втори ред с канонично уравнение \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1. Състои се от два клона, има два фокуса и две асимптоти с уравнения ay \pm bx = 0. Пресечната точка на асимптотите представлява център на симетрия за хиперболата. При това центърът на хиперболата е в началото на координатната система. Оста на хиперболата, наречена главна ос, съвпада с оста x. Върховете й са с координати (a,0) и (-a,0).

Параметричните уравнения на клона на хиперболата, отговарящ на x > 0, са:

x = a / cos α, y = b tg α.

Друго параметрично представяне на първия клон е:

x = a ch α, y = b sh α, -∞ < α < ∞.

Хиперболата наред с елипсата и параболата е един от трите типа конични сечения. Получава се като сечение на равнина с двата клона на коничната повърхнина. Въпреки че хиперболата се състои от два клона, тя е неизродено конично сечение, тъй като никой от клоновете, взет отделно, не представя алгебрична крива.

Две са свойствата на фокусите F_1, F_2 на хиперболата:

  1. За всяка точка Р от хиперболата,  |PF_1 - PF_2| е постоянно число, и то равно на 2a.
    Това свойство е причината в някои случаи хиперболата да се дефинира и като:

Геометричното място на точките P в евклидовата равнина, за които абсолютната стойност на разликата между разстоянията от P до две предварително фиксирани точки в равнината (фокуси), е постоянно число С.

  1. Допирателната към хиперболата във всяка нейна точка Р представлява ъглополовяща на \angle F_1PF_2.[1]

Разстоянието между фокусите се нарича фокално разстояние, а отношението е = |F1 F2| / C - ексцентрицитет на хиперболата.

Думата "хипербола" произхожда от гръцки: ὑπερβολή , „прехвърляне“, „излишък“. Кривата е била известна още на Архимед, Аполоний от Пергам и Менехъм.[2]


Пример за хипербола е графиката на функцията y = 1 / x.

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  2. "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, С., 1984

Външни препратки[редактиране | edit source]