Хипербола

Тази статия е за геометричната крива. За стилистичната фигура вижте Хипербола (литература).

---

Хиперболите x²-y²=1 и y²-x²=1

Хиперболата като конично сечение

Хиперболата в математиката е равнинна алгебрична крива от втори ред с канонично уравнение ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. Състои се от два клона, има два фокуса и две асимптоти с уравнения $ay\pm bx=0$. Пресечната точка на асимптотите представлява център на симетрия за хиперболата. При това центърът на хиперболата е в началото на координатната система. Оста на хиперболата, наречена главна ос, съвпада с оста x. Върховете ѝ са с координати (a,0) и (-a,0).

Параметричните уравнения на клона на хиперболата, отговарящ на x > 0, са:

x = a / cos α, y = b tg α.

Друго параметрично представяне на първия клон е:

x = a ch α, y = b sh α, -∞ < α < ∞.

Хиперболата наред с елипсата и параболата е един от трите типа конични сечения. Получава се като сечение на равнина с двата клона на коничната повърхнина. Въпреки че хиперболата се състои от два клона, тя е неизродено конично сечение, тъй като никой от клоновете, взет отделно, не представя алгебрична крива.

Две са свойствата на фокусите $F_{1},F_{2}$ на хиперболата:

1. За всяка точка Р от хиперболата, $|PF_{1}-PF_{2}|$ е постоянно число, и то равно на $2a$.
   Това свойство е причината в някои случаи хиперболата да се дефинира и като:

Геометричното място на точките P в евклидовата равнина, за които абсолютната стойност на разликата между разстоянията от P до две предварително фиксирани точки в равнината (фокуси), е постоянно число С.

1. Допирателната към хиперболата във всяка нейна точка Р представлява ъглополовяща на $\angle F_{1}PF_{2}$.

Разстоянието между фокусите се нарича фокално разстояние, а отношението е = |F₁ F₂| / C – ексцентрицитет на хиперболата.

Думата „хипербола“ произхожда от гръцки: ὑπερβολή, „прехвърляне“, „излишък“. Кривата е била известна още на Архимед, Аполоний от Пергам и Менехъм.

Пример за хипербола е графиката на функцията y = 1 / x.

Вижте също

• елипса, парабола
• хиперболична спирала
• хиперболична функция
• хиперболоид

Външни препратки

• Информация за хиперболата, Wolfram MathWorld