Трансцендентно число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Пи (π) е най-известното трансцендентно число.

Трансцендентно число е число, което не може да се получи като решение на уравнение, изградено от многочлен с рационални коефициенти и неравно на нула. Най-известните примери за трансцендентни числа са константата пи () и неперовото число. Въпреки че са известни само няколко случая на трансцендентни числа (отчасти, защото е много трудно да се докаже, че дадено число е трансцендентно), те съвсем не са редки. Всъщност, почти всички реални и комплексни числа са трансцендентни, тъй като алгебричните числа са изброими, докато редиците от реални и комплексни числа са неизброими. Всички реални трансцендентни числа са ирационални, тъй като всички рационални числа са алгебрични. Обраното не е вярно: не всички ирационални числа са трансцендентни; например квадратният корен от 2 е ирационален, но не трансцендентен, тъй като е решение на многочленното уравнение x2 − 2 = 0. Друго ирационално число, което не е трансцендентно е златното сечение, или , защото е решение на многочленното уравнение x2x − 1 = 0.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

  • Множеството на трансцендентните числа е континуално.
  • Всяко трансцендентно реално число е ирационално, но обратното не е вярно.
  • Редът на множеството на трансцендентните реални числа е изоморфен на реда на множеството на ирационалните числа.
  • Мярката на ирационалност на почти всяко трансцендентно число е равна на 2.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

История[редактиране | редактиране на кода]

Името „трансцендентно“ идва от латинското transcendĕre – „изкачвам, прехвърлям“[2] и е използвано за пръв път в математиката от Лайбниц през 1682 г. в негов труд, където доказва, че sin(x) не е алгебрична функция на x.[3][4] Ойлер е може би първият човек, който определя трансцендентните числа в съвременния им смисъл.[5]

Йохан Ламберт предполага, че e и π са трансцендентни числа в своя труд от 1768 г., доказващ, че числото π е ирационално, и предлага пробна скица за доказателство на трансцендентността на π.[6]

Жозеф Лиувил е първият, доказал съществуването на трансцендентни числа през 1844 г.,[7] а през 1851 г. дава първите десетични примери като числото на Лиувил:

в което n-тата цифра след десетичната запетая е 1, ако n е равно на k! (k факториел) за някои k и 0 в противния случай.[8] С други думи, n-тата цифра на това число е 1 само ако n е едно от числата 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т.н. Лиувил показва, че това число е именно това, което днес наричаме число на Лиувил. В основата си това означава, че то може да бъде приближено по-близко чрез рационални числа, отколкото с кое да е ирационално алгебрично число. Лиувил доказва, че всички числа на Лиувил са трансцендентни.[9]

Първото число, което е доказано, че е трансцендентно, без да бъде специално построено за целта, е e от Шарл Ермит през 1873 г.

През 1874 г. Георг Кантор доказва, че алгебричните числа са изброими, а реалните числа на неизброими. Той, също така, дава нов метод за построяване на трансцендентни числа.[10][11] През 1878 г. Кантор публикува конструкция, която доказва, че има толкова трансцендентни числа, колкото и реални числа.[12] Неговия труд установява вездесъщността на трансцендентните числа.

През 1882 г. Фердинанд фон Линдеман публикува доказателство, че числото π е трансцендентно. Първоначално показва, че ea е трансцендентно, когато a е алгебрично и ненулево. Тогава, тъй като eiπ = −1 е алгебрично, iπ и следователно (вж. равенство на Ойлер) π трябва да е трансцендентно. Този подход е обобщен от Карл Вайерщрас в теоремата на Линдеман-Вайерщрас. Трансцендността на π позволява доказателството на невъзможността на няколко древни геометрични построения, сред които построения с линийка и пергел, включващи известната квадратура на кръга.

През 1900 г. Давид Хилберт поставя влиятелен въпрос относно трансцендентните числа: Ако a е алгебрично число, което не е нула или единица, а b е ирационално алгебрично число, то задължително ли е ab да е трансцендентно? Потвърдителният отговор е предоставен през 1934 г. от теоремата на Гелфон-Шнайдер. Трудът е разширен от Алан Бейкър през 1960-те години.[13]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  2. Oxford English Dictionary, s.v.
  3. Leibnizens mathematische Schriften. Т. 5. A. Asher & Co., 1858. с. 97 – 98.[1]
  4. Nicolás Bourbaki. Elements of the History of Mathematics. Springer, 1994. с. 74.
  5. Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler. // Mathematics Magazine 76 (5). декември 1943. DOI:10.2307/2690369. с. 292 – 299.
  6. Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin. 1768. с. 265 – 322.
  7. Aubrey J. Kempner. On Transcendental Numbers. // Transactions of the American Mathematical Society 17 (4). American Mathematical Society, October 1916. DOI:10.2307/1988833. с. 476 – 482.
  8. Weisstein, Eric W. „Liouville's Constant“, MathWorld
  9. J. Liouville. Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques. // J. Math. Pures et Appl. 16. 1851. с. 133 – 142.
  10. Georg Cantor. Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen. // J. Reine Angew. Math. 77. 1874. с. 258 – 262.
  11. Gray, Robert. Georg Cantor and transcendental numbers. // Amer. Math. Monthly 101. 1994. DOI:10.2307/2975129. с. 819 – 832.
  12. Georg Cantor. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. // J. Reine Angew. Math. 84. 1878. с. 242 – 258.
  13. J J O'Connor and E F Robertson: Alan Baker. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.