Пи

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Тази статия е за трансцендентното число. За буквата от гръцката азбука вижте Пи (буква).

Анимация за връзката между дължината на окръжността и пи

π (произнася се пи) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).

Числова стойност[редактиране | редактиране на кода]

Пи – Карлсплац, Виена

В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0 (удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.

Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер.

На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белар достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.

Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:

 Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!
  3  1  4   1   5       9      2    6      5     3    6

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.

Особености[редактиране | редактиране на кода]

Pi-CM.svg

π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).

Формули, касаещи π[редактиране | редактиране на кода]

Геометрия[редактиране | редактиране на кода]

е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.

Геометрична форма Формула
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d
Лице на кръг с радиус r
Лице на елипса с полуоси a и b
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d
Повърхнина на сфера с радиус r
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r ,
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r
Обем на конус с височина h и радиус на основата r
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r

(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като .)

Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.

Анализ[редактиране | редактиране на кода]

Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.

  • Формула на Виет, 1593 (доказателство):
  • Формула на Лайбниц (доказателство):
  • Представяне на Уолис (доказателство):
  • Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли)
  • Гаусов интеграл:
  • Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):
    и в заключение, е рационално кратно на за цяло положително n.
  • Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:
  • Приближение на Стирлинг:
  • Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):
  • Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):
  • Лице на 1/4 от единичния кръг:
  • Следствие на теоремата за резидуумите
    където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.

Безкрайни дроби[редактиране | редактиране на кода]

π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:

(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)

Теория на числата[редактиране | редактиране на кода]

Някои изводи от теорията на числата:

  • Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π2.
  • Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π2.
  • Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
  • Произведението от (1 – 1/p2) за прости p, е 6/π2.

Вижте още[редактиране | редактиране на кода]

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]