Координата

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Координата (от лат. co + ordinatus, „нареден“, „определен“) — реално число или числа, с чиято помощ се определя положението на точка върху права, в равнината или в пространството. Понятието се обобщава както за случая на многомерни пространства, така и за определяне на положенията на обекти, различни от точки.

Определения[редактиране | edit source]

Абсциса, ордината и апликата. Абсцисна, ординатна и апликатна ос

Координата е обобщаващ термин за тези числа, с които се описва местоположението на точката, а именно: разстояние, абсциса, ордината, апликата, азимут, (ъгъл на) възвишение. Координатите може да са ъглови или линейни.

Разстояние[редактиране | edit source]

В най-простия едномерен случай — например един плъзгач, извършващ праволинейно движение, за описване на положението му е достатъчна една линейна координата: разстоянието, на което се намира точката от началото на координатната система. При сферичните координати разстоянието r е единствената координата с размерност дължина, докато двете ъглови координати Θ и φ служат да посочат посоката, в която се мери разстоянието.

Абсциса[редактиране | edit source]

Абсцисата е първата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на абсцисата е x. В координатна система оста, по която се измерва абсцисата, се нарича абсцисна ос и се означава с х.

Ордината[редактиране | edit source]

Ординатата е втората (правоъгълна, или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на ординатата е y. В координатна система оста, по която се измерва ординатата, се нарича ординатната ос и се означава с y.

Апликата[редактиране | edit source]

Апликатата е третата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на апликатата е z. В координатна система оста, по която се измерва апликатата, се нарича респективно апликатна ос и се означава със z. Апликата е слабо разпространено наименование, по-често се казва „по Z“

Видове координати[редактиране | edit source]

Афинни и декартови координати[редактиране | edit source]

Разликата между афинна и декартова координатна система

Нека в равнината е избрана произволна точка O, която служи за начало на два неколинеарни вектора e1 и e2. Така построената система наричаме афинна координатна система, а правите Oe1 и Oe2координатни оси. Тогава за всяка точка M от равнината на системата равенството OM = xe1 + ye2 задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките M върху множеството на наредените двойки (x, y). Още се казва, че M има афинни координати (x, y) спрямо системата Oe1e2 и се бележи с M(x, y). Координатите x, y са алгебрични проекции на вектора OM върху координатните оси, измерени съответно с координатните вектори. Афинната координатна система Oe1e2 се означава още и с Oxy.

Дефиницията на афинна координатна система се обобщава лесно до тримерно и многомерни пространства.

Декартовата координатна система е частен случай на афинна координатна система, за която се изпълнени следните условия:

  • координатните оси Oe1 и Oe2 са взаимно перпендикулярни (т.е. системата е ортогонална, правоъгълна), и
  • координатните вектори имат равни дължини — единичната мярка в системата (т.е. системата е ортонормирана).

Декартовата (картезианската) координатна система е най-често използваната в обучението и практиката афинна координатна система. Исторически тя е и първата въведена — през XVII в. от френския математик и философ Рене Декарт.

Полярни координати[редактиране | edit source]

Полярни координати в равнината

Редица криви могат да се опишат много по-лесно чрез полярни, отколкото чрез декартови координати. Полярните координати обаче важат за точки в равнината. За точки в пространството се използват сферичните и цилиндричните координати.

Нека в равнината е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез лъч ο, минаващ през т. О, се задава нулева посока на системата и установява положителната посока на въртене — традиционно това е посоката на въртене, която е обратна на часовниковата стрелка. Тогава на всяка точка M (≠ О) в равнината се съпоставят полярни координати (r,Θ) по следния начин:

  • полярната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О
  • полярната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, на който трябва да завъртим в положителна посока лъча ο, така че да съвпадне с лъча OM.

Формулите, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  • x = r . cos\theta
  • y = r . sin\theta
  • r = \sqrt{x^2 + y^2}
  • tg\theta = \frac{y}{x} (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката).

Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса O и когато положителната посока на оста x съвпадне с положителната посока на лъча o.

В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), Исак Нютон и Якоб Бернули (1891). Първи Леонард Ойлер през 1748 г. стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд „Analysis infinitorum“ се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини „полюс“ и „полярни координати“ навлизат едва през XIX в. с работите на Гаспар Монж и школата му. Полярният ъгъл Θ така и не получава устойчиво название: наричан е „аномалия“, „амплитуда“, „азимут“ и дори „аргумент“.

Сферични координати[редактиране | edit source]

Сферични координати

Сферичните координати са пространствени полярни координати. Те са един от видовете тримерни пространствени координати.

Дефиниция 1, математическа: Нека в пространството е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез два перпендикулярни лъча e1 и e2, минаващи през т. О, се задават съответно нулева и северна посока на системата. Установява се и положителна посока на въртене по отношение на лъча e2, наричан още полярна ос. Равнината, определена от двата лъча, се нарича първична меридианна равнина. Равнината, която минава през лъча e1 и е перпендикулярна на лъча e2, се дефинира като екваториална равнина.

Нека в така дефинираното пространство е отбелязана втора точка M (≠ О). Тогава нейните сферични координати (r, Θ, φ) се определят по следния начин:

  • сферичната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О.
  • сферичната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча e1 и проекцията OM* на лъча OM върху екваториалната равнина. Ъгъл Θ още се нарича географска дължина. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • сферичната координата φ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъчите e2 и OM в определената от тях меридианна равнина. Ъгъл φ още се нарича географска ширина. Дефиниционната област на φ е [-π/2; π/2].

Съответствието между точките в пространството и сферичните им координати е винаги еднозначно и обратимо освен в следните случаи:

  • географската дължина не е определена за точки, лежащи върху оста e1,
  • в полюса О не е определена и географската ширина.


Дефиниция 2, практическа: В разглеждана подходящо ориентирана (например хоризонтално) равнина се избират точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1) дължината на отсечката между полюса и точката, 2) ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора и 3) ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.

За практически използуваните системи освен горните, принципно необходими неща се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават астрономическа, геодезическа и две леко различаващи се — немска и руска артилерийски координатни системи, все варианти на сферичната координатната система. Линейната координата (важи поне за артилерийските) се нарича разстояние, ъгълът, мерен по равнината — азимут, а този спрямо на нея — ъгъл на възвишение.

Географските координати също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди в 2-те посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования — източна и западна дължина, северна и южна ширина. Разстоянието се мери в метри, но не от центъра на Земята, а от морското равнище, като знаците пак имат словесни наименования — надморска височина и дълбочина.

Сферични координати

Трансформационните формули, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:

  • x = r . cos\varphi . cos\theta
  • y = r . cos\varphi . sin\theta
  • z = r . sin\varphi
  • r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
  • tg\theta = \frac{y}{x}(придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  • tg\varphi = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}

Тези формули са валидни, когато началото на дясна декартова координатна система Oxyz съвпадне с полюса O и когато положителните посоки на осите x и z съвпадат с посоките на лъчите e1 и e2, съответно.

Независимо че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от XVIII в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от Лагранж през 1773 г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през 1881 г.

Цилиндрични координати[редактиране | edit source]

Цилиндрични координати

Цилиндричните координати са обобщение на полярните координати в случая на тримерно пространство.

Нека в равнина е въведена полярна координатна система с полюс т. О и нулев лъч o и ортогонално на равнината е построен втори лъч ν. Тогава в така получената цилиндрична координатна система произволна т. М в пространството има цилиндрични координати (r, Θ, h), дефинирани по следния начин:

  • цилиндричната координата r на M е равна на разстоянието от т. О до проекцията на т. M в равнината (радиус на цилиндъра).
  • цилиндричната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча o и проекцията на M върху равнината. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
  • цилиндричната координата h на M е равна на дължината на проекцията от точка M към равнината.

Този вид координати са наречени цилиндрични, понеже r играе ролята на радиус на цилиндър, а h — на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните — от един скалар и два ъгъла.

Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:

  • x = r . cos\theta
  • y = r . sin\theta
  • z = h
  • r = \sqrt{x^2 + y^2}
  • tg\theta = \frac{y}{x} (придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
  • h = z

Те са в сила, когато за начало на декартовата координатна система е избран полюсът O на цилиндричната, а лъчите x и z от декартовата съвпадат съответно с o и ν от цилиндричната.

История[редактиране | edit source]

Потребността от използване на координати се появява под различни форми в географията, астрономията и математиката още във Вавилония и Древна Гърция. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през XVII в. През XIV в. френският математик Никола Орем е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал „дължина“ и „широчина“ в смисъла на абсциса и ордината.

Терминът абсциса (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било „отсечка“. Тази практика се запазва за последно в трудовете на Бонавентура Кавалиери от 1635 г. През 1675 г. Готфрид Лайбниц налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система. Аполоний (ок. 260-170 г.пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността „линии прекарани поред“, като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като „ordinatum applicata“. Оттук произхождат термините ордината и апликата, като впоследствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга.

Думата ордината в съвременния ѝ смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата.

Малко популярната дума апликата означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.

Източници[редактиране | edit source]

  • „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, Абагар Холдинг, София, 1995.
  • „Математически термини“, Н. В. Александрова, ДИ „Наука и изкуство“, София, 1989.
  • "Физико-математическа и техническа енциклопедия, т. 2, Издателство на БАН, София, 2000.

Вижте също[редактиране | edit source]