Хамилтонова механика

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Класическа механика

PendulumWithMovableSupport.svg
Импулс · Сила · Енергия · Работа · Мощност · Скорост · Ускорение · Инерционен момент · Момент на сила · Момент на импулса

Хамилтоновата механика представлява преформулиране на класическата механика и е създадена през 1833 г. от ирландския математик Уилям Хамилтон. Тя произлиза от механиката на Лагранж, представляваща друго представяне на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.

Хамилтоновата механика не може да бъде изложена без познаване на механиката на Лагранж. Затова е необходимо първо да се запознаем с Механиката на Лагранж.


Преформулиране на механиката на Лагранж[редактиране | edit source]

Да започнем с механиката на Лагранж и уравнението за движение, описвано с координати:

 \left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}


В тримерно пространство ползваме: \{x,y,z \}

и съответните скорости:

\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}

В тримерното пространство ползваме: \{\dot{x},\dot{y},\dot{z} \}

Използвайки този начин на записване, операторът на Лагранж е:

   L(q_j, \dot{q}_j, t)
За тримерно пространство:    L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z} , t)

Хамилтоновата механика замества скоростта на движение с момента на движение. По този начин се постига опростяване на уравнението за някои системи, особено в квантовата механика. Т.е. Хамилтоновата механика използва следните аргументи:

   H\left(q_j,p_j,t\right)

За тримерното пространство Хамилтоновата фукция се описва чрез аргументите:

   H\left(x,y,z,p_x,p_y,p_z,t\right)

Моментът на движение се задава чрез следния диференциал:

 p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}

В декартови координати този момент е точно равен на импулса от класическата механика.

p_x= m{\partial x \over \partial t} = m\dot{x}

В полярни координати обобщеният момент съответства на ъгловия момент (ротационния момент). За произволно зададена координатна система така зададеният момент може и да няма директно интуитивно обяснение.

Оператор на Хамилтон[редактиране | edit source]

Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж:


   H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t)

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система - независима от времето t, може да се покаже, че H е равен на общата енергия: E = T + V.


Да разгледаме диференциала на Н:

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}

Замествайки моментите на двжението със съответните коефициенти, получаваме Каноничното равенство на Хамилтон:

    {\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това, че операторът на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението. В крайна сметка резултата, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон, е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.