Равенство на Ойлер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математическия анализ равенството на Ойлер, кръстено на швейцарския математик Ойлер, е

,

където

е неперовото число, основата на естествените логаритми,
е имагинерната единица, дефинирана като i2 = −1,
е лудолфовото число, отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.

Ойлеровото равенство се счита за забележително заради връзката, която полага, между пет от най-ключовите математически константи:

Обяснение[редактиране | редактиране на кода]

Формулата на Ойлер за общ ъгъл.

Равенството на Ойлер е специален случай на формулата на Ойлер от комплексния анализ, която гласи, че за всяко реално число x,

където стойностите на синуса и косинуса са в радиани.

В частност, когато x = π, или един полуоборот (180°) около окръжност:

Тъй като

и

следва, че

което дава равенството на Ойлер: