Естествен логаритъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Естественият логаритъм, ln (на латински: logarithmus naturalis), наричан понякога и натурален, е логаритъм с основа числото e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35.... . Числото "e" е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)n при n, клонящо към безкрайност. Естественият логаритъм ln x е дефиниран за всички реални положителни стойности на x, както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов логаритъм, а числото e се нарича неперово число.

Ако y = eх, тогава x = ln y. Естественият логаритъм от е е равен на 1, тъй като e1 = e, а естественият логаритъм от 1 е 0, тъй като e0 = 1.

Графика на естествения логаритъм

Естественият логаритъм може да се дефинира като обратна функция на показателната функция с равенствата:

e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!
\ln(e^x) = x.\,\!

С други думи, той е биекция на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно погледнато, той е изоморфизъм между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа относно събирането:

\ln : (\mathbb{R}^+, \times) \to (\mathbb{R}, +)


Друга дефиниция[редактиране | edit source]

Формално ln a може да се дефинира като областта под графиката на функцията 1/x от 1 до а, която се дава с интеграла

\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

Той дефинира логаритъма, тъй като удовлетворява основното свойство на логаритмите:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!

Това може да се покаже чрез заместването t=\tfrac xa по следния начин:


\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)