Обратна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Функцията и обратната ѝ . Ако , то .

Обратна функция се нарича функция, която „обръща“ друга функция. Тоест ако имаме функцията да е равна на , то нейната обратна функция би била равна на .[1][2]

Дефиниция на обратна функция[редактиране | редактиране на кода]

Ако функцията е дефинирана и обратима в множеството и приема стойности в множеството , тогава функцията се нарича обратна на , ако за всяко , принадлежащо на , съществува единствено , принадлежащо на , за което .

Обратима функция[редактиране | редактиране на кода]

Казваме, че функцията е обратима в множеството , ако за всеки 2 стойности , , принадлежащи на , от това, че е различно от следва, че е различно от .

Необходимо и достатъчно условие една функция да е обратима в множеството е тя да бъде строго монотонна.

Свойство 1[редактиране | редактиране на кода]

(червено) и (синьо) в декартова равнина.

Ако функцията е монотонно растяща/намаляваща в множеството , то обратната и функция е монотонно растяща/намаляваща в .

Свойство 2[редактиране | редактиране на кода]

Графиките на дадена функция и нейната обратна са симетрични спрямо ъглополовящите на първи и трети квадрант.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Обратната функция на показателната функция е логаритмичната функция.

Тригонометрични функции
Функция Обратна функция

Примерна задача[редактиране | редактиране на кода]

Да се намери обратната функция на функцията y = , x ≥ 0.

Решение:

Функцията y = , x ≥ 0 е строго растяща, защото от 0 ≤ x1 < x2 следва f(x1)-f(x2) = - = (x1 - x2)(x1 + x2) < 0, т.е. f(x1) < f(x2). Това означава, че функцията y = при x ≥ 0 е обратима. От y = , x ≥ 0 намираме x = √y. Изразът √y има смисъл, защото y ≥ 0. Следователно обратната функция на функцията Функцията y = за x ≥ 0 е x = √y, y ≥ 0.

Източници[редактиране | редактиране на кода]