Окръжност

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Окръжност с радиус r, диаметър d и център М

Окръжността е геометрична затворена крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Диаметър на окръжността (d) е отсечка, свързваща две точки от окръжността и преминаваща през центъра ѝ, като дължината ѝ е два пъти радиуса (d = 2r).

Кръг[редактиране | редактиране на кода]

Фигурата, съставена от точките на окръжността и точките във вътрешността ѝ, т.е. точките, които са на разстояние от центъра, равно или по-малко от радиуса, се нарича кръг.

Окръжност се отнася към кръг в двуизмерното пространство, както сфера към кълбо в триизмерното.

Определения[редактиране | редактиране на кода]

Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде дефинирана също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.

Лицето на кръг с радиус r е равно на

Периметърът (обиколката) на кръг, тоест дължината на окръжност, с радиус r е

По Евклид[редактиране | редактиране на кода]

Според класическото определение окръжността е геометричното място на точките в равнината, разположени на еднакво разстояние от дадена точка. В известното математическо съчинение „Елементи“ древногръцкият математик Евклид (IV – III век пр.н.е.) дава следната дефиниция:

Кръг е равнинна фигура, ограничена от линия, такава че всички прави отсечки, достигащи до нея от една от точките, лежащи вътре във фигурата, са равни една на друга.

— Евклид, Елементи, книга I, определение 15. [1]

По Аполоний от Перге[редактиране | редактиране на кода]

Аполониевата дефиниция за окръжност: d1/d2 е константа

Аполоний от Перге (262 – 190 г. пр.н.е.) показва, че окръжността може да се дефинира и като множеството от точки в дадена равнина, за които съотношението на разстоянието до две зададени точки е постоянно и различно от единица.[2]

Доказателството за еквивалентност на определението на Аполоний с класическата дефиниция се състои от две части. Първо, трябва да се докаже, че при зададени две точки, фокусите A и B, и съотношение на разстоянията, всяка точка P, за която е изпълнено условието, трябва да лежи върху определена окръжност. Ако C е друга точка, също изпълняваща условието и лежаща на отсечката AB. От теоремата за ъглополовящата следва, че отсечката PC е ъглополовяща на вътрешния ъгъл APB, заради съотношението:

Аналогично отсечка PD през точка D на правата AB е ъглополовяща на съответния външен ъгъл BPQ, където Q лежи на правата AP. Тъй като сборът на вътрешния и външния ъгъл е 180°, ъгълът CPD е прав. Множеството от точки P, за които ъгълът CPD е прав, образуват окръжност, за която CD е диаметър. Вторият етап от доказателството е да се покаже, че всяка точка от въпросната окръжност удовлетворява зададеното съотношение на разстоянията.[3]

Дефиницията на Аполоний е тясно свързана с едно отношение на окръжностите с геометрията на двойното отношение на точките в комплексната равнина. Ако точките A, B и C са зададени както в горното доказателство, Аполониевата окръжност за тези три точки е множеството от точките P, за които абсолютната стойност на двойното отношение е равна на 1:

Формулирано по друг начин, P е точка от Аполониевата окръжност тогава и само тогава, когато двойното отношение [A,B;C,P] лежи върху единичната окръжност на комплексната равнина.

Определението на Аполоний дава възможност за дефиниране и на т.нар. обобщена окръжност, множество от криви, включващо освен окръжностите в тесен смисъл, също и правите, образувани при:

В декартови координати[редактиране | редактиране на кода]

  • Уравнението на окръжност с център и радиус е
    ако съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида
  • Параметрично представяне на окръжност:
    където координатите x и y се изразяват чрез параметъра , който може да приема всички стойности в интервала .

В полярни координати[редактиране | редактиране на кода]

Ако полярните координати на центъра на окръжност са , то окръжността с радиус се описва с равенството

,
ако е началото на координатната система, то

Термини, свързани с окръжността[редактиране | редактиране на кода]

CIRCLE LINES 2.svg
  • Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър.
  • Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
  • Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра ѝ.
  • Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда.
  • Допирателна (тангента) се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
  • Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
  • Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
  • Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
  • Периферен ъгъл се нарича ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към К, а другото пресича окръжността.
  • Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

  • Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка (правата е допирателна) и да имат две общи точки (правата е секуща).
  • През три точки, нележащи на една права, може да се прекара само една окръжност.
  • Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Euclid. Definitions 15 – 18. // Euclid's Elements, Book I. Clark University, 2003. Посетен на 24 април 2011. (на английски)
  2. Harkness, James. Introduction to the theory of analytic functions. London, New York, Macmillan and Co., 1898. p. 30. (на английски)
  3. Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover, 2007, [1952]. p. 15. (на английски)