Построения с линийка и пергел

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.

Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение, известни от античността. При тях могат да се използват само два абстрактни чертожни инструмента:

  • линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена, с нейна помощ може да се построи права през всеки две точки; и
  • пергел, за който се приема, че може да начертае окръжност с произволен център и произволен радиус.

Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за начертаване на прав ъгъл).

Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на корен квадратен.[1]

В България този вид задачи започват да се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.

Решими задачи[редактиране | редактиране на кода]

Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:[2]

Основни построителни задачи
  • построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
  • построяване на симетрала на дадена отсечка,
  • построяване на перпендикуляр от точка към права,
  • построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
  • построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.
Построяване на триъгълник
Построяване на успоредник
  • по дадени две страни и ъгъл
  • по дадени два диагонала и ъгъл между тях

Известна е теоремата на Гаус-Ванцел:

Правилен n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел, ако и само ако n е произведение от степен на 2 и различни прости числа на Ферма, т.е. ако и само ако n е във вида n = 2kp1p2…ps, където k е неотрицателно цяло число, а pi са различни прости числа на Ферма.

Нерешими задачи[редактиране | редактиране на кода]

Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:[1]

Делоска задача
Даден е куб с дължина на ръба . Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина
Задача за квадратурата на кръга
Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина , което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.
Трисекция на ъгъл
Задачата изисква произволен ъгъл с големина да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина да се построи отсечка с дължина . Това изисква решаването на уравнението , което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. а б „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  2. „Математика за 7 клас“, Здравка Паскалева, Георги Паскалев, ИК Летера

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]